Углы в математике
Мы ежедневно видим углы предметов, но достаточно редко задумываемся о том, какими характеристиками они обладают. Разберемся, как классифицируют углы в математике и в каких величинах их измеряют
Оглядитесь вокруг: сколько углов вы сможете насчитать? Вполне вероятно, что их будет не меньше десятка. Углы есть у зданий и мебели, у книг и подушек, у экранов и у многого другого. Чаще всего нас окружают прямые углы: о прямой угол тумбочки мы ударяемся мизинцем, а около прямого угла дома ожидаем такси.
Разберемся, какие еще существуют виды углов, как измеряются углы в математике и в каком классе школы дети начинают изучать эту тему.
Что такое углы в математике
Несмотря на то что каждый из нас представляет, что такое угол предмета, иногда бывает трудно сформулировать геометрическое определение этого понятия. Сделаем это сейчас.
Итак, углом в геометрии называется фигура, состоящая из точки и двух исходящих из нее лучей. При этом величина угла измеряется в градусах отклонения одного луча от другого или в радианах, а «полный оборот» равен 360°, или 2π радиан.
Для справки: один радиан – это величина угла между двумя лучами, выходящими из центра окружности радиуса R и отсекающими дугу длины R (рисунок ниже).
Фото: Анастасия Полищук
Полезная информация об углах в математике
Соберем классификацию углов по их величине в удобную таблицу. Помним, что круглые скобки означают, что концы интервалов в указанные интервалы не входят. Например, (0°;90°) значит, что острый угол – это угол больше 0, но меньше 90 градусов.
| Виды углов в математике | Градусная мера | Радианная мера |
|---|---|---|
| Нулевой | 0° | 0 |
| Острый | (0°;90°) | (0;π/2) |
| Прямой | 90° | π/2 |
| Тупой | (90°;180°) | (π/2;π) |
| Развернутый | 180° | π |
| Выпуклый | (180°;360°) | (π;2π) |
| Полный | 360° | 2π |
Виды углов
В зависимости от величины углы делятся на острые, прямые, тупые и развернутые. Узнаем об особенностях каждого вида, а рассмотреть их можно на рисунке.
Фото: Анастасия Полищук
Прямой угол
Прямой угол встречается нам в повседневной жизни чаще всего. Если рядом с вами сейчас есть дверь, окно, шкаф, кровать или письменный стол, вы легко можете внимательно рассмотреть прямой угол. Даже угол экрана монитора или гаджета, на котором вы читаете эту статью, – прямой.
У фигур с этим видом углов достаточно много особых свойств. Например, для прямоугольника и квадрата существуют особые формулы нахождения площади. А для всех треугольников, имеющих прямой угол, подходит теорема Пифагора.
Градусная мера и величина прямого угла
Прямым называется угол 90°, или π/2 радиан. Такой угол образуется на пересечении двух перпендикулярных друг другу прямых.
Тупой угол
Угол, градусная мера которого больше, чем у прямого, называется тупым. При этом лучи, составляющие угол, не должны лежать на одной прямой, иначе угол получится развернутый.
Градусная мера и величина тупого угла
К тупым относятся все углы, величина которых больше 90°, но меньше 180°. В радианах это область от π/2 до π, не включая крайние значения интервала.
Острый угол
Если есть тупые углы, то логично, что существуют и острые. В противоположность тупым, острые углы меньше прямых, однако их величина обязательно должна быть больше нуля.
Градусная мера и величина острого угла
Острый угол – это угол больше 0°, но меньше 90°. Эти углы лежат в области от 0 до π/2.
В математике существует так называемый нулевой угол, чья градусная мера равна нулю, поэтому можно сказать, что острый угол больше нулевого, но меньше прямого.
Развернутый угол
Развернутым углом называют такой, лучи которого лежат на одной прямой. Фактически, лучи расходятся из одной точки прямо в противоположные стороны.
Градусная мера и величина развернутого угла
Градусная мера развернутого угла – ровно 180°, радианная — π радиан. Все углы, градусная мера которых превышает это значение, но не превосходит 360°, называются выпуклыми. Угол в 360° имеет название полного.
Пошаговая инструкция, как измерить угол транспортиром
Для измерения углов в геометрии используется специальный инструмент, который называется транспортир. Он представляет из себя круг или полукруг с отметкой начала отсчета и нанесенными на внешнюю границу делениями. Каждое деление равно одному градусу.
Фото: Анастасия Полищук
Давайте научимся измерять углы при помощи транспортира. Для измерения подойдут углы, начерченные на бумаге, изображенные на экране или имеющиеся на любой плоской поверхности.
Шаг 1
Найдите вершину угла и расположите на ней отметку начала отсчета. Такая отметка находится в центре круглого транспортира или в середине диаметра под меткой «90°», если транспортир представляет из себя полукруг.
Шаг 2
Совместите нулевое деление транспортира с нижним лучом угла. Обычно в транспортирах имеется линия, с помощью которой удобно это делать.
Шаг 3
Рассмотрите, на какое деление указывает второй луч из тех, что образуют измеряемый угол. В математических задачах не всегда используются круглые значения, к тому же возможны погрешности в инструментах или качестве чертежа. Поэтому в том случае, если луч показывает не точно на деление, можно выбрать ближайшее.
Задачи по теме «Углы в математике»
Решим несколько задач для закрепления темы.
Задача 1
Для каждой градусной или радианной меры укажите, какому виду угла она соответствует.
- 18°
- π/2 рад
- 89°
- 180°
- 3π/4 рад
- 8π/7 рад
- 298°
- 90°
- π/4 рад
- π рад
Задача 2
АС и BD – диаметры окружности. Известно, что ∠ABD = 31°. Найти ∠AOD.
Ответы к задачам
Проверьте себя по приведенным ниже ответам.
Задача 1
Для каждого угла указан его вид.
- 18° – острый угол
- π/2 рад – прямой угол
- 89° – острый угол
- 180° – развернутый угол
- 3π/4 рад – тупой угол
- 8π/7 рад – выпуклый угол
- 298° – выпуклый угол
- 90° – прямой угол
- π/4 рад – острый угол
- π рад – развернутый угол
Задача 2
Так как АО и АВ – радиусы, то они равны. Значит, треугольник АОВ равнобедренный, АВ – основание. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, ∠АВО = ∠ВОА.
Так как сумма углов треугольника всегда 180 градусов, то
∠АОВ = 180 — 31 — 31 = 118°
∠АОВ и ∠AOD – смежные, их сумма равна 180 градусов.
Таким образом, ∠AOD = 180 — 118 = 62°
Ответ: ∠AOD = 62°
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Александр Мацкевич, репетитор по математике:
Как сравнить углы?
Для сравнения углов используются различные методы. В общем случае, если при сопоставлении углы одинаковые, то они равны. Этот метод называется наложение. Один угол надо сопоставить с другим так, чтобы одна сторона одного угла совпала с одной из сторон второго угла. Тогда, если и оставшиеся стороны совпадают, углы называются равными. В целом два угла называются равными, если у них одинаковые градусные (или радианные) меры.
В задачах также применяются различные свойства, признаки равенства углов, в зависимости от того, в какой конкретно теме встретились углы. Так, например, если дан равнобедренный треугольник, углы при его основании всегда равны. Или, если есть две пересекающиеся прямые, всегда равны вертикальные углы, то есть те, что не имеют общих сторон. Также в правильных фигурах углы при вершинах всегда равны. Или, если дана биссектриса какого-либо угла, она всегда делит этот угол на два равных угла.
В задачах также применяются различные свойства, признаки равенства углов, в зависимости от того, в какой конкретно теме встретились углы. Так, например, если дан равнобедренный треугольник, углы при его основании всегда равны. Или, если есть две пересекающиеся прямые, всегда равны вертикальные углы, то есть те, что не имеют общих сторон. Также в правильных фигурах углы при вершинах всегда равны. Или, если дана биссектриса какого-либо угла, она всегда делит этот угол на два равных угла.
Почему углы в математике начинают изучать уже во 2-м классе?
Углы встречаются в различных областях математики, все они разной степени сложности и разобрать все возможные вариации применения даже за пару лет – непосильная задача. Представьте, что вы никогда не сталкивались с числами в своей жизни, и вот внезапно, например, в 20 лет вам необходимо разобрать почти все, что с ними связано. Сомневаюсь, что этот процесс закончится успехом. По сути, с углами та же история.
Для того чтобы справиться с какой-либо сложной задачей, сперва следует выработать навык решения простой задачи. Начальные знания об углах во втором классе необходимы для постепенного развития полушарий головного мозга, что и приводит к развитию когнитивных функций. Углы и геометрия в целом задействуют как левое полушарие (отвечающее больше за логическое мышление), так и правое (благодаря работе с образами фигур в воображении). Таким образом, обучение происходит постепенно, не слишком шокирует и пугает своей сложностью.
Для того чтобы справиться с какой-либо сложной задачей, сперва следует выработать навык решения простой задачи. Начальные знания об углах во втором классе необходимы для постепенного развития полушарий головного мозга, что и приводит к развитию когнитивных функций. Углы и геометрия в целом задействуют как левое полушарие (отвечающее больше за логическое мышление), так и правое (благодаря работе с образами фигур в воображении). Таким образом, обучение происходит постепенно, не слишком шокирует и пугает своей сложностью.
В каком задании ОГЭ по математике проверяется навык решения задач по теме «Углы в математике»?
В силу того, что углы встречаются во многих темах геометрии, существует и широкое разнообразие задач, так или иначе связанных с углами. Углы в ОГЭ встречаются в тех задачах, где есть геометрия. Например, это могут быть задачи №15, №16, №17, №19 первой части; №23, №24 и №25 второй части.
