Теория вероятностей: теорема сложения и умножения вероятностей, формулы, примеры решения задач с ответами по алгебре для 7, 8, 9 классов

Сделать прогноз в спорте, предсказать успех рекламных кампаний, оценить риски при инвестициях или провести анализ статистики заболеваемости вы сможете сами. Погружаясь в увлекательный мир математики, мы открываем великолепный инструмент для оценки случайных событий. В статье поговорим о том, что такое теория вероятностей, выучим теоремы сложения и умножения и закрепим знания практическими задачами.

Что такое теория вероятностей в алгебре

Теория вероятностей – раздел в математике, занимающийся анализом случайных событий или явлений.

Исход какого-то события не может быть определен до момента, пока оно не произойдет. Но с помощью теории вероятностей мы можем провести анализ и предугадать все возможные исходы.

Полезная информация о теории вероятностей

Историческая справка	Теория вероятностей была разработана в 17 в. Д. Кардано, Б. Паскаль, П. Ферма, занимаясь исследованиями прогнозирования выигрыша в азартных играх, обнаружили закономерность, когда бросали игральную кость.
Закон больших чисел в теории вероятностей	Если многократно повторять один и тот же эксперимент, то с каждым действием мы будем ближе к ожидаемому результату. Если при броске игральных костей мы ожидаем увидеть конкретное число, то с каждой попыткой, вырастает шанс, что выпадет ожидаемое число.
Несколько видов событий	При решении задач на теоремы сложения и умножения нужно правильно определить, с каким событием мы имеем дело: совместным или несовместным, зависимым или независимым. От этого будет зависеть выбор формулы и путь решения.
Условная вероятность	Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Обозначение: P_A(B) или P(B\|A).

Формула теории вероятностей

Когда проводится эксперимент, от него ожидается результат, и этот ожидаемый результат известен как вероятностное событие.

В результате эксперимента, опыта могут произойти различные события. В теории вероятностей событием мы называем каждый исход, прогноз или успех.

Вероятность обозначается буквой Р, а события большими латинскими буквами А, В, С….

Виды событий в теории вероятностей

В теории вероятностей выделяют несколько видов событий. Рассмотрим основные из них.

Случайные события

Событие называется случайным, если нельзя утверждать, что при данных обстоятельствах оно обязательно наступит.

Примеры:

рождение мальчика или девочки (вероятность, что родится ребенок того или иного пола, равна ½ );
вероятность вытащить карту из колоды красного цвета (можно вытащить карту красного цвета, но такие же шансы вытащить карту черного цвета).

Вероятность таких случайных событий оценивается положительным числом, заключенным между 0 и 1 (0 Р(А) 1) или в процентах от 1 до 100.

Равновероятные (равновозможные события)

Равновозможными событиями называют такие события, которые имеют одинаковые шансы наступления.

Примеры:

бросок монеты: вероятность выпасть орлу либо решке одинакова, так как монета имеет только две стороны, и обе стороны равноправны. Вероятность каждого исхода равна ½, или 50%;
бросок шестигранного кубика: вероятность того, что выпадет любая из шести граней, равна, так как каждая грань одинаковая по размеру и форме и каждая имеет шансы на выпадение. Вероятность каждого исхода равна ⅙;
выбор случайного числа от 1 до 10: вероятность выбрать любое число одинакова, если все числа имеют равные шансы быть выбранными. Вероятность выбора каждого числа равна 1/10, или 10%.

Для всех перечисленных выше событий применяется формула классической вероятности.

Р(А) = ^m/_n ; где n – общее число элементарных, равновозможных исходов, а m – число благоприятных исходов.

это интересно

Арифметическая прогрессия

Что это такое и какие формулы нужно знать, чтобы успешно сдать экзамены

подробнее

Совместные события

Два случайных события А и В называются совместными, если в одном и том же эксперименте появление одного события не исключает появление другого.

Пример:

бросание шестигранного кубика: выпадение четного числа и выпадение больше 3;
рождение ребенка: родится мальчик и родится с весом больше 3 кг.

Несовместные события

Два случайных события А и В называются несовместными, если в одном и том же эксперименте появление одного исключает появление другого события.

Пример: человек спит и ест одновременно.

Зависимые события

Событие С называется зависимым от события D, если вероятность наступления события С зависит от того, произошло событие D или не произошло.

Пример: сход лавины зависит от количества выпавшего снега.

Независимые события

Событие С называется независимым от события D, если вероятность наступления события С не зависит от того, произошло событие D или не произошло.

Пример: два лыжника одновременно уходят на дистанцию независимо друг от друга.

Полная группа событий

Объединение единственно возможных событий при данном испытании образует полную группу событий.

Приведем пример. При подбрасывании монетки может быть два события: или орел, или решка, поэтому они образуют полную группу.

Теорема сложения вероятностей

Существует несколько формулировок этой теоремы, в зависимости от взаимосвязи событий.

Теорема умножения вероятностей

Если случайные события А и B независимые, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А•В)=Р(А) • Р(В)

Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Р(А•В) = Р(А) • Р_А(В)

Примеры и задачи по теме «Теория вероятностей»

Решим несколько заданий.

Задача 1

Случайным образом выбирается число от 1 до 10. Какова вероятность выбрать 3 или четное число?

Задача 2

Вероятность того, что у подростка из города N будет скейтборд, равна 0,38, велосипеда – 0,83, и того и другого 0,39. Какова вероятность, что у случайно выбранного подростка есть скейтборд или велосипед?

Ответы к задачам

Давайте разберем решение каждой из предложенных задач.

Задача 1

Событие А – выбор 3, Р(А) = ¹/₁₀

Событие В – выбор четного числа: 2, 4, 6, 8, 10, Р(В)= ⁵/₁₀

Эти два события несовместные, значит вероятность наступления события А или события В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Р(А+В) = ¹/₁₀ + ⁵/₁₀ = ⁶/₁₀ = 0,6

Ответ: вероятность выбрать 3 или четное число равна 0,6.

Задача 2

Вероятность появления одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления.

Р(А+В) = 0,38 + 0,83 – 0,39 = 0,82

Ответ: вероятность, что у случайно выбранного подростка есть скейтборд или велосипед, равна 0,82.

Теория вероятностей