Средняя линия треугольника

Среднюю линию треугольника изучают на уроках геометрии в 8 классе, позже эта тема встречается в заданиях ЕГЭ по математике. Для решения экзаменационных задач ребятам нужно знать свойства и теорему средней линии, а также уметь вычислять через нее площадь и периметр треугольника. Вместе с экспертом-математиком разбираемся на примерах, как это правильно делать.

Что такое средняя линия треугольника в геометрии

​Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

Полезная информация о средней линии треугольника

Треугольник	Геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно  соединяющих эти точки.
Середина отрезка	Точка отрезка, делящая его пополам (на два равных отрезка).
Параллельные прямые	Две прямые на плоскости, которые не пересекаются.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема звучит так: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Свойства средней линии треугольника

Свойство средней линии треугольника основано на теореме. То есть в треугольнике ABC средняя линия MN будет параллельна стороне AC и при этом равна половине ее длины. Те же свойства будут и у других средних линий данного треугольника.

1) В каждом треугольнике может быть три средних линии.
2) При пересечении трех средних линий образуются 4 равных треугольника, которые подобны исходному с коэффициентом ½.

Признак средней линии треугольника

Если отрезок проходит через середину одной из сторон треугольника, пересекает вторую и параллелен третьей стороне этого треугольника, то этот отрезок является средней линией треугольника. 

Нахождение площади треугольника через среднюю линию

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника ABC, зная две его средние линии MN (10) и NP (15), нужно выполнить несколько простых действий. 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов: 

S = 12 * (AC*BC)

Чтобы найти сторону AC, нужно среднюю линию NM умножить на 2, так как средняя линия равна половине катета:

AC= 2MN = 2*10= 20

Точно так же находим сторону BC:

BC= 2NP= 2*5= 30

Зная все нужные нам стороны, можем найти площадь по формуле

S = 12 * (AC*BC):
S= 12*(AC*BC) = 12*(20*30)= 300

Ответ: 300

Нахождение периметра треугольника через среднюю линию

Чтобы найти периметр треугольника, необходимо знать все три его средние линии. Если они известны, стоит обратиться к формуле:

P=MN×2+NK×2+KM×2,

где MN, NK, KM – средние линии треугольника, P – периметр треугольника

К примеру, если мы знаем, что сторона MN равна 5, NK – 7, KM – 8, то найти периметр будет нетрудно:

P= 5*2+7*2+8*2
P= 40

Ответ: 40 

Задачи на тему «Средняя линия треугольника»

Давайте вместе решим пару задач, чтобы закрепить изученный материал.

Задача 1

Найдите площадь прямоугольного треугольника ABC, зная две его средние линии: MN (40) и NP (8), при условии, что сторона MN параллельна стороне AC, а сторона NP параллельна стороне ВС.

Задача 2

В треугольнике ABC есть три средние линии: MN – 20, NK – 8, KM – 30. Найдите периметр треугольника. 

Задача 3

Проверим, насколько хорошо вы усвоили теорию. Ответьте на несколько вопросов.

1. Выберите верное утверждение о середине отрезка:

а) это точка на отрезке, которая делит его пополам
б) это линия, разделяющая любой треугольник на две равные части
в) это основание равностороннего треугольника
г) это любая точка на отрезке

2. Выберите верное утверждение о средней линии:

а) она всегда перпендикулярна основанию треугольника
б) она всегда параллельна основанию треугольника
в) она параллельна одной из сторон треугольника
г) она параллельна основанию треугольника

3. Какое количество средних линий может быть в любом треугольнике?

Ответы к задачам

Предлагаем проверить решения и полученные результаты.

Задача 1 

1. Найдем площаль прямоугольного треугольника как половину произведение катетов по формуле S = 12 * (AC*BC).
2. Найдем сторону AC через среднюю линию NM: AC = 2MN = 2*40= 80
3. Найдем сторону BC через среднюю линию NP: BC= 2NP= 2*8= 16
4. Зная все нужные стороны, находим площадь: S= 12*(AC*BC) = 12*(80*16)= 640

Ответ: 640

Задача 2

Вспомним формулу нахождения периметра треугольника через среднюю линию: P=MN×2+NK×2+KM×2.

Подставив известные значения, получаем: P= 20*2+8*2+30*2= 116

Ответ: 116

Задача 3

1. a
2. c
3. 3

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Иван Пежиров, преподаватель онлайн-уроков по математике для учеников 5-11 классов, репетитор по ОГЭ и ЕГЭ: