Сокращение дробей

Примеры с обыкновенными дробями – это задания, с которыми должны справляться все школьники в 5-6 классе. Строго говоря, в сложении, вычитании, умножении и делении дробей нет ничего особенно сложного, но иногда после приведения к общему знаменателю итоговый результат пугает ребят длиной получившихся чисел. Справиться с этой проблемой нетрудно: достаточно правильно провести сокращение дробей.

Расскажем, как это сделать, приведем пошаговую инструкцию по сокращению правильных и неправильных дробей и поинтересуемся у эксперта, пригодится ли этот навык на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Что такое сокращение дробей в математике

Сокращение дроби – это разделение числителя и знаменателя на одно и то же целое положительное число. После этого действия числа в дроби уменьшатся и работать с ними станет легче.

Делать это можно благодаря основному свойству дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, получится дробь, равная исходной.

Полезная информация о сокращении дробей в математике

Собрали основные правила сокращения дробей в удобную таблицу.

Пошаговая инструкция по сокращению дробей

Ниже приведем короткую понятную инструкцию, состоящую всего из нескольких пунктов. Она поможет легко освоить навык сокращения дробей и справиться с заданиями по этой теме.

Выделите целую часть неправильной дроби

Если в вашем выражении используется неправильная дробь, то есть такая, в которой числитель больше знаменателя, в первую очередь нужно выделить целую часть. После этого работать можно только с дробной, а целую оставлять нетронутой.  Например:

Найдите общий делитель числителя и знаменателя

Начнем с того, что выберем число, на которое будем сокращать дробь. Им должен выступить общий делитель числителя и знаменателя: такое число, на которое и числитель, и знаменатель делятся без остатка.

Давайте потренируемся и поищем общие делители для следующих пар чисел:

• 14 и 21: оба числа делятся на 7;
• 42 и 63: достаточно легко заметить, что оба числа делятся на 21;
• 72 и 81: очевидно, что общий делитель – 9.

Разделите обе части дроби на выбранное число

Делитель найден – приступаем к вычислению. То есть делим числитель и знаменатель дроби на это число. Воспользуемся уже найденными в предыдущем пункте делителями:

• 14/28 = (2 × 7) / (3 × 7) = 2/3;
• 42/84 = (2 × 21) / (3 × 21) = 2/3;
• 72/81 = (8 × 9) / (9 × 9) = 8/9.

Проверьте, есть ли еще один общий делитель

Как мы уже упоминали, не всегда стоит искать сразу же наибольший делитель, иногда удобнее выполнять сокращение поэтапно. Например, если оба числа четные, можно сначала разделить их на два. Для выбора делителя можно воспользоваться признаками делимости на 3, 5, 10 и другие числа. Таких мелких шагов можно провести несколько, постепенно приводя дробь к наиболее удобному виду.

После каждого этапа сокращения нужно посмотреть на результат и попытаться найти еще общие делители числителя и знаменателя. Если их нет, значит, вы получили несократимую дробь, то есть добились наилучшего результата.

Числитель и знаменатель, не имеющие общих делителей, называются взаимно простыми, а дробь – несократимой.

Примеры

Сократим несколько дробей, чтобы окончательно разобраться в теме.

Разложение числителя и знаменателя на простые множители

Еще один способ сокращения дробей – предварительно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а после сократить сразу на все совпадающие числа. Напомним, что простыми называются такие числа, которые делятся лишь на себя и единицу. Для примера рассмотрим несколько чисел:

• 12 = 3 × 2 × 2;
• 144 = 8 × 9 × 2 = 2 × 4 × 3 × 3 × 2 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3);
• 362 880 = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 2 × 3 × 2 × 2 × 5 × 2 × 3 × 7 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) × 5 × 7.

Примеры

Приведем пример сокращения дроби методом разложения на простые множители. Для этого возьмем уже использованные нами выше числа:

это интересно

Умножение дробей

Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби

Подробнее

Задачи по теме «Сокращение дробей»

Выполните следующие задания на сокращение дробей и сверьтесь с приведенными ниже ответами.

Задание 1

Разложите на простые множители следующие числа:

1. 72
2. 510
3. 108
4. 180
5. 312
6. 96

Задание 2

Сократите дроби:

1. 8/16
2. 3/27
3. 12/144
4. 83/4
5. 162/9
6. 270/360

Ответы к задачам

Ответы к заданиями – ниже.

Задание 1

1. 72 = 8 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3;
2. 510 = 10 × 51 = 5 × 2 × 3 × 17;
3. 108 = 3 × 6 × 6 = 3 × 3 × 2 × 3 × 2;
4. 180 = 3 × 6 × 10 = 3 × 3 × 2 × 2 × 5;
5. 312 = 2 × 4 × 3 × 13 = 2 × 2 × 2 × 3 × 13;
6. 96 = 2 × 4 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3;

Задание 2

1. 8/16 = (1 × 8) / (2 × 8) = 1/2;
2. 3/27 = 1/9;
3. 12/144 = 1/12;
4. 83/4 = (20 × 4 + 3) / 4 = 20 + 3/4;
5. 162/9 = 18;
6. 270/360 = 27/36 = (3 × 3 × 3) / (2 × 3 × 2 × 3) = 3/4; 

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Александр Мацкевич, репетитор по математике: