Смешанные числа
Вместе с преподавателем математики выясняем, как решать примеры со смешанными числами
Смешанные числа изучают в 5 классе, но эта тема есть и в заданиях ОГЭ по математике. Для ее усвоения важно знать не только формулы, но и понимать, чем натуральное число отличается от смешанного, а правильная дробь от неправильной. Разбираемся на примерах, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление в примерах со смешанными числами.
Что такое смешанные числа в математике
Смешанное число состоит из целой части и дробной, причем дробная часть выражена правильной дробью.
Полезная информация о смешанных числах
Напомним понятия, которые нужно знать, чтобы разобраться с этой темой.
| Обыкновенная дробь | Дробь, которая выражена с помощью дробной черты, состоящая из числителя (делимое) и знаменателя (делитель): числитель/знаменатель |
| Натуральное число | Число, которые используют при счете: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. |
| Смешанное число | Число, состоящее из целой части и дробной, выраженной правильной дробью. |
| Правильная дробь | Дробь, в которой числитель меньше знаменателя. |
| Неправильная дробь | Дробь, в которой числитель больше знаменателя. |
Сложение смешанных чисел
Если вам нужно сложить смешанное число и натуральное, к натуральному нужно прибавить целую часть смешанного числа, а дробь оставить как есть.
Формула выглядит так:
\(c\frac ab+d=\;(c+d)+\frac ab\)
Например,
\(\;5\frac23+7=\;(5+7)+\frac23=\;12\frac23\)
Чтобы сложить два смешанных числа, для начала необходимо сложить целые части, а потом уже дробные :
\(c\;\frac ab+d\frac bn=\;(c+d)+(\frac ab+\frac mn)\)
Например,
\(10\frac35+4\frac15=\;(10+4)+(\frac35+\frac15)=\;14\frac45\)
Чтобы к смешанному числу прибавить правильную дробь, нужно найти сумму дробных частей, а целую часть оставить без изменений:
\(c\frac{\;a}b+\frac mn=с+(\frac ab+\frac mn)\)
Например,
\(5\frac37+\frac17=5+(\frac37+\frac17)=5\frac47\)
Примеры
В качестве примера попробуем сложить два смешанных числа:
\(12\frac23\;и\;3\frac34\)
\(\mathrm{Нам}\;\mathrm{нужно}\;\mathrm{сложить}\;\mathrm{целые}\;\mathrm{части}\;\mathrm{отдельно},\;\\\mathrm а\;\mathrm{дробные}\;\mathrm{отдельно},\;\mathrm{то}\;\mathrm{есть}\;(12+3)+(\frac23+\frac34).\;\\\mathrm{Сначала}\;\mathrm{складываем}\;\mathrm{целые}\;\mathrm{части}\;12+3=15,\;\\\mathrm{затем}\;\mathrm{складываем}\;\mathrm{дробные}\;\mathrm{части}\;\frac23+\frac34.\)
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. У 3 и 4 это 12:
\(\frac23+\frac34=\frac8{12}+\frac9{12}=\frac{17}{12}=1\frac5{12}\)
\(После\;чего\;складываем\;15\;и\;1\frac5{12}:\)
\(15+1\frac5{12}=(15+1)+\frac5{12}=16\frac5{12}\)
Таким образом, полное решение выглядит так:
\(12\frac23+\frac3{34}=\;(12+3)+(\frac23+\frac34)=\;15+(\frac8{12}+\frac9{12})\;=\\=15+1\frac5{12}=(15+1)+\frac5{12}=16\frac5{12}\)
Ответ:
\(16\frac5{12}\)
Для большего понимания темы обратимся к следующему примеру, в который входит целое число, натуральная дробь и смешанное число:
\(5+\frac78+2\frac18.\)
Сначала складываем целые части и дробные по отдельности, а потом прибавляем результаты друг к другу.
\((5+2)+(\frac78+\frac18)=7+\frac88=8\)
Ответ: 8
Вычитание смешанных чисел
Чтобы вычесть из натурального числа смешанное, нужно от натурального числа отнять целую часть смешанного, а затем вычесть из полученного результата дробь.
Формула выглядит так:
\(d-c\frac{\;a}b=\;(d-c)-\frac ab\)
Например,
\(10-2\frac13=\;(10-2)-\frac13=8-\frac13=7\frac33-\frac13=7\frac23\)
Если необходимо вычесть одно смешанное число из другого, сначала вычитаем целые части, а потом дробные, после чего результаты нужно сложить:
\(c\;\frac ab-d\frac mn=\;(c-d)+(\frac ab-\frac mn)\)
Например,
\(5\frac37-2\frac17=\;(5-2)+(\frac37-\frac17)=3+\frac27=3\frac27\)
Если уменьшаемая дробь меньше вычитаемой, применяется следующая формула:
\(c\;\frac ab\;-\;d\frac mn,\;где\;\frac ab<\frac mn\)
\(c\;\frac ab-d\frac mn=\;((c-d)-\frac mn)+\frac ab\)
Например,
\(3\frac13-2\frac23=\;((3-2)-\frac23)+\frac13=(1-\frac23)+\frac13=\\=\;(\frac33-\frac23)+\frac13=\frac13+\frac13=\frac23\)
Примеры
Чтобы лучше понять приведенные выше формулы, решим пример:
\(20-3\frac17\)
Сначала нужно вычесть целую часть из целой части, а затем из полученного отнять дробь.
\(20-3\frac17=(20-3)-\frac17=17-\frac17=16\frac77-\frac17=16\frac67\)
Ответ:
\(16\frac67\)
Попробуем решить пример, в котором уменьшаемая дробь меньше вычитаемой:
\(10\frac14-2\frac34.\)
Опираясь на формулу выше, получаем:
\(((10-2)-\frac34)+\frac14=(8-\frac34)+\frac14=\\=(7\frac44-\frac34)+\frac14=7\frac14+\frac14=7\frac24=7\frac12\)
Ответ:
\(7\frac12\)
Умножение смешанных чисел
Для умножения смешанного числа на смешанное число нужно перевести их в неправильные дроби и умножить по правилам умножения дробей.
Например,
\(2\frac23\ast3\frac15=\frac{2\ast3+2}3\ast\frac{3\ast5+1}3=\frac83\ast\frac{16}5=\frac{8\ast16}{3\ast5}=\frac{128}{15}=8\frac8{15}\)
То же самое при умножении смешанного числа на обыкновенную дробь.
Например,
\(4\frac15\ast\frac23=\frac{4\ast5+1}5\ast\frac23=\frac{21}5\ast\frac23=\frac{14}5=2\frac45\)
Чтобы умножить целое число на дробь, достаточно умножить его на числитель дроби.
Например,
\(4\ast\frac25=\frac{4\ast2}5=\frac85=1\frac35\)
Примеры
Чтобы лучше понять, как умножать смешанные части, решим пример:
\(10\frac17\ast5\frac25.\)
Для начала нужно перевести все смешанные числа в неправильные дроби, а затем перемножить.
\(10\frac17\ast5\frac25=\frac{10\ast7+1}7\ast\frac{5\ast5+2}5=\frac{71\ast27}{7\ast5}=\;\frac{1917}{35}=54\frac{27}{35}\)
Ответ:
\(54\frac{27}{35}\)
\(Также\;попробуем\;умножить\;5\;на\;2\frac14=5\ast\frac{2\ast4+1}4=5\ast\frac94=\frac{45}4=11\frac14\)
Ответ:
\(11\frac14\)
Деление смешанных чисел
Для деления одного смешанного числа на другое достаточно перевести их в неправильную дробь и разделить согласно правилу деления дробей. Все почти как с умножением, о котором мы писали выше.
Например,
\(5\frac17:2\frac13=\frac{7\;\cdot\;5\;+\;1}7:\frac{3\;\cdot\;2\;+\;1}3=\frac{36}7:\frac73=\frac{36}7\ast\frac37=\;\frac{108}{49}=2\frac{10}{49}\)
Если вы хотите разделить смешанное число на целое, переведите смешанное число в неправильную дробь, после чего разделите.
Например,
\(3\frac29:6=\;\frac{3\ast9+2}9:6=\;\frac{29}9:6=\frac{29}{9\ast6}=\frac{29}{54}\)
Целое число на смешанное делится наоборот:
\(5:2\frac25=5:\frac{5\ast2+2}5=5:\frac{12}5=\frac{5\ast5}{12}=\frac{25}{12}=2\frac1{12}.\)
При делении смешанного числа на обыкновенную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем разделить.
Например,
\(2\frac58:\frac4{11}=\frac{8\ast2+5}8:\frac4{11}=\frac{21}8:\frac4{11}=\frac{21}8\ast\frac{11}4=\frac{231}{32}=7\frac7{32}\)
Примеры
Решим пример:
\(3\frac13:2\frac14.\)
\(3\frac13:2\frac14=\;\frac{3\;\cdot\;3\;+\;1}3:\frac{4\;\cdot\;2\;+\;1}4=\frac{10}3:\frac94=\frac{10}3\ast\frac49=\frac{40}{27}=1\frac{13}{27}\)
Ответ:
\(1\frac{13}{27}\)
\(Также\;попробуем\;разделить\;натуральное\;число\;5\;на\;смешанное\;4\frac19.\)
\(5:4\frac19=5:\frac{9\;\cdot\;4\;+\;1}9=5:\frac{37}9=5\ast\frac9{37}=\frac{45}{37}=1\frac8{37}\)
Ответ:
\(1\frac8{37}\)
Задачи по теме «Смешанные числа»
Для закрепления темы «Смешанные числа» предлагаем решить пару задач.
Задача 1
\(Решите\;пример\;17\frac15+\frac35.\)
Задача 2
\(Решите\;пример\;9:7\frac38.\)
Ответы к задачам
Проверьте, все ли верно вы сделали.
Задача 1: Сначала нам нужно сложить дробные части друг с другом, а затем прибавить целую часть.
\(17\frac15+\frac35=17+(\frac15+\frac35)=17\frac45\)
Ответ:
\(17\frac45\)
Задача 2: Для деления целого числа на смешанное нужно сначала перевести смешанное число в неправильную дробь. Затем необходимо выполнить деление по правилам деления дробей, то есть «перевернуть» делитель.
\(\;9:7\frac38=9:\frac{7\;\cdot\;8\;+\;3}8=9:\frac{59}8=9\ast\frac8{59}=\frac{9\ast8}{59}=\frac{72}{59}=1\frac{13}{59}\)
Ответ:
\(1\frac{13}{59}\)
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Иван Пежиров, преподаватель онлайн-уроков по математике для учеников 5-11 классов, репетитор по ОГЭ и ЕГЭ.
Как перевести смешанное число в неправильную дробь?
Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно:
а) целую часть умножить на знаменатель;
б) полученный результат прибавить к числителю;
в) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить без изменения.
а) целую часть умножить на знаменатель;
б) полученный результат прибавить к числителю;
в) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Почему смешанные числа начинают изучать в 5 классе?
В пятом классе начинают подробно рассматривать натуральные числа и действия над ними. Но эти темы достаточно простые, их явно не хватит на весь год, да и к тому же возникает вопрос: а как поделить 1 на 3, например? Дроби, в том числе и смешанные числа, являются естественным и логичным продолжением изучения чисел.
В каком задании ОГЭ по математике проверяется умение решать задачи со смешанными числами?
Задание 6 нацелено на проверку умения работы с дробными и смешанными числами. Но смешанные числа, как и любые другие, могут встретиться в абсолютно любой задаче.
