Сложение и вычитание дробей: сумма и разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, правила для смешанных дробей, примеры, задачи с ответами по математике для 5, 6, 7, 8 классов

Дроби окружают нас повсюду. Мы ежедневно сталкиваемся с ними, даже не замечая этого. Сто рублей — это ¹/₁₀ тысячи, а пятьсот рублей —¹/₂, или половина. Дроби используются в рецептах, при изготовлении лекарств и растворов, в чертежах, при моделировании одежды и даже в космосе. Часы и те показывают дроби: десять минут пятого означает 4 ¹/₆ часа, или 4 часа 10 минут. Если друг говорит, что придет без четверти два, то от двух часов мы в уме отнимаем ¹/₄часа, или 15 минут. Чтобы бытовые задачи вас не пугали и вы чувствовали себя в мире дробей как рыба в воде, вспоминаем правила сложения и вычитания дробей.

Что такое сложение и вычитание дробей в математике

Дробь — это число, состоящее из одной или нескольких равных частей целого. Значит, как и с любыми числами, с ними можно производить математические операции.

Сложение и вычитание дробей — ряд арифметических действий с числителем и знаменателем, позволяющий определить сумму или разность частей целых.

Давайте познакомимся с правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также потренируемся на примерах и задачах.

Полезная информация о сложении и вычитании дробей в математике

Собрали в таблицу важную информацию, которую необходимо учитывать при решении задач с дробями.

Вопрос о сложении и вычитании дробей	Ответ
Главное условие для сложения и вычитания дробей	Дроби должны быть приведены к общему знаменателю.
Нужно ли переводить смешанную дробь в неправильную перед сложением и вычитанием?	Это необходимо только в случае вычитания, когда числитель уменьшаемого меньше вычитаемого.
Какая дробь записывается в ответе после вычислений.	Правильная несократимая дробь.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть числители, а знаменатель переписать без изменения:

\(\frac ac+\frac bc=\frac{a+b}c;\;\\\frac ac-\frac bc=\frac{a-b}c\\\\\)

Если после сложения получилась неправильная дробь – числитель больше знаменателя, преобразуйте ее в правильную, выделив целое.

Запомните, результатом арифметических действий с дробями является правильная несократимая дробь, в противном случае ответ считается неверным.

Примеры

Перед вам примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\frac27+\frac67=\frac{2+6}7=\frac87=1\frac17;\;\\\frac16+\frac16=\frac{1+1}6=\frac26=\frac13\\\\\\\)

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Представьте, что вы купили два одинаковых пакета апельсинового сока. Вы разлили один пакет сока в пять стаканов, наполнив их до краев, и выпили один. Мама налила сок из второго пакета в 10 стаканов, заполнив их наполовину, а три из них выпили папа и дедушка. Чтобы понять, сколько сока осталось, надо его сложить, но для этого количество сока в стаканах должно быть одинаковым. Попробуем разлить сок по полным стаканам или по половине.

Если мамин сок перелить так, чтобы заполнить стаканы полностью, то один стакан с половиной сока останется, и мы его никак не посчитаем. Разольем ваш сок по полстакана: он разольется ровно в восемь стаканов. Значит, считать будем сок, разлитый по половинкам стакана, так мы сможем учесть все.

Мы с вами привели сок к одинаковой единице измерения, а точнее — к общему знаменателю. Запишем задачу в виде дробей. Мама разделила сок на 10 равных частей. Пакет сока в ее случае равен ¹⁰/₁₀ . А вы разделили сок на 5 частей. Ваш пакет сока составит⁵/₅. Часть сока была выпита. Сумма оставшегося сока:

\(\frac7{10}+\frac45=\frac7{10}+\frac8{10}=\frac{7+8}{10}=\frac{15}{10}=\frac32=1\frac12\\\\\\\\\\\\\)

У вас осталось полтора пакета сока.

Складывать или вычитать дроби с разными знаменателями нельзя. Сначала их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю, а дальше применить правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее целое число, на которое каждый знаменатель делится без остатка.

Привести дроби к общему знаменателю можно по-разному. Самый простой способ — умножение крест-накрест: первую дробь умножают на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой:

\(\frac23+\frac15=\frac{2\times5}{3\times5}+\frac{1\times3}{5\times3}=\frac{10}{15}+\frac3{15}=\frac{10+3}{15}=\frac{13}{15}\\\\\\\)

Этот способ идеален при простых числах в знаменателях, которые делятся только на себя и на единицу, но в целом подходит для любых дробей. У него есть один минус: при перемножении могут получаться большие числа и дроби, которые необходимо приводить к несократимому виду:

\(\frac4{25}+\frac7{15}=\frac{4\times15+7\times25}{25\times15}=\frac{60}{375}+\frac{175}{375}=\frac{60\times175}{375}=\frac{235}{375}=\frac{47}{75}\\\\\\\)

Метод общего делителя. Если больший знаменатель делится без остатка на меньший, то результат деления является дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем:

\(\frac23\;+\;\frac3{12}\\\\\\\)

Смотрим на знаменатели: 12 : 3 = 4.

Для получения знаменателя 12 первую дробь с меньшим знаменателем необходимо умножить на 4.

\(\frac23+\frac3{12}=\frac{2\times4}{3\times4}+\frac3{12}\;=\frac8{12}+\frac3{12}=\frac{11}{12}\\\\\\\)

Такой способ нахождения общего знаменателя — частный случай и применяется редко, но он позволяет быстро получить ответ и избежать лишних ошибок.

Метод наименьшего общего кратного. Его можно назвать универсальным для любой ситуации, но он требует внимательности и дополнительных вычислений.

В основе метода лежит понятие наименьшего общего кратного (НОК) — наименьшего числа, которое без остатка делится на каждый знаменатель. Обозначается: НОК(a;b) = с, где a и b — знаменатели.

Вы наверняка заметили, что НОК и наименьший общий знаменатель — одно и то же. Чтобы определить НОК необходимо:

разложить знаменатели на простые множители;
найти наибольший общий делитель (НОД) — наибольшее число, на которое каждый из знаменателей делится без остатка. НОД равен произведению простых множителей, одновременно входящих во все знаменатели;
умножьте НОД на все оставшиеся множители для получения НОК.

После определения НОК находим дополнительные множители, на которые необходимо умножить дроби, чтобы привести их к общему знаменателю. Для этого делим НОК на знаменатели дробей.

Приводим дроби к общему знаменателю и выполняем арифметические действия с числителями.

\(Решим\;пример:\frac2{21}+\frac3{14}\\\\\\\)

Определим НОК(21;14).

Разложим значения на простые множители:

21: 3, 7;
14: 2, 7.

Множитель 7 есть у обоих знаменателей — это НОД(21;14). При нахождении НОК учитываем его один раз.

НОК(21;14) = НОД(21; 14) ∙ 3 ∙ 2 = 7 ∙ 3 ∙ 2 = 42

Дополнительные множители:

42 : 21 =2,
42 : 14 = 3,

\(\frac{2\times2}{21\times2}+\frac{3\times3}{14\times3}=\frac{4+9}{42}=\frac{13}{42}\\\\\\\)

это интересно

Умножение дробей

Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби

Подробнее

Алгоритма Евклида позволяет быстро найти НОД для двух целых чисел. Для наглядности обозначим знаменатели буквами a и b, где a > b

Шаг 1. Больший знаменатель a делим на меньший b. Если остатка нет, то меньший знаменатель b и есть НОД — используйте метод общего делителя, иначе обозначим остаток о1 и перейдем к следующему шагу.

Шаг 2. Меньший знаменатель b делим на остаток от деления в предыдущем шаге о1. Если разделили без остатка, НОД=о1, если получили остаток o2, переходим к шагу 3.

Шаг 3. Делитель из шага 2 — о1 делим на остаток из шага 2 — о2 и продолжаем так до тех пор, пока в результате деления не получим целое. Делитель, при котором нет остатка, — НОД.

Для получения общего знаменателя или НОК перемножаем исходные знаменатели дробей и делим результат на НОД:

НОК(a; b)= a ∙ b : НОД(a;b)

Вычисляем дополнительные коэффициенты:

НОД(a;b) : a,
НОД(a;b) : b

Умножаем на них дроби для приведения к общему знаменателю.

Рассмотрим алгоритм на примере:

\(\frac3{16}+\frac16\\\\\\\)

Найдем НОД(16;6)

a=16, b=6
16 : 6 = 2 (остаток 4), о1 = 4
Берем меньший знаменатель b и делим на о1:

6 : 4 = 1 (остаток 2), о2 = 2

Теперь о1 делим на о2

4 : 2 = 2, деление произошло без остатка, делитель о2 = 2.

НОД(16;6) = 2

Найдем общий знаменатель: 16 ∙ 6 : 2 = 48

Найдем коэффициенты для каждой дроби:

48 : 16 = 3, 48 : 6 = 8

\(\frac{3\times3}{16\times3}+\frac{1\times8}{6\times8}=\frac{9+8}{48}=\frac{17}{48}\\\\\\\)

Примеры

Давайте решим несколько примеров, используя разные методы приведения к общему знаменателю.

Метод крест-накрест:

\(\frac67+\frac49=\frac{6\times9+4\times7}{7\times9}=\frac{54+28}{63}=\frac{82}{63}=1\frac{19}{63};\\\frac12-\frac13=\frac{1\times3+1\times2}{3\times2}=\frac{3-2}6=\frac16\\\\\\\\\)

Метод общего делителя:

\(\frac14+\frac38=\frac{1\times2+3}8=\frac58\\\frac45+\frac2{15}=\frac{4\times3+2}{15}=\frac{14}{15}\)

Метод наименьшего общего кратного:

\(\frac5{24}+\frac7{60}\\\\\\\)

Разложим знаменатели на простые множители:

24: 2, 2, 2, 3
60: 2, 2, 3, 5

НОД(24; 60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
НОК(24; 60) = 12 ∙ 2 ∙ 5 =120

Найдем коэффициенты для дробей:

120 : 24 = 5, 120 : 60 = 2

\(\frac5{24}+\frac7{60}=\frac{5\times5}{24\times5}+\frac{7\times2}{60\times2}=\frac{25+14}{120}=\frac{39}{120}=\frac{13}{40}\\\\\\\)

Найдем НОД для этого примера с помощью алгоритма Евклида:

60 : 24 = 2 (остаток 12)
24 : 12 = 6

НОД(24; 60) = 12
НОК(24; 60) =24 ∙ 60 : 12 = 120

Сложение и вычитание смешанных дробей

При работе со смешанными дробями отдельно работают с целыми частями, а к дробным частям применяют правила сложения дробей, предварительно приведя их к общему знаменателю.

Если в результате сложения получается неправильная дробь, то из нее выделяют целое и суммируют с остальными целыми частями:

\(1\frac34+2\frac13=(1+2)+(\frac34+\frac13)=3+\frac{9+4}{12}=3\frac{13}{12}=4\frac1{12}\\\\\\\)

Если при вычитании после приведения дробей к общему знаменателю числитель уменьшаемого меньше, чем вычитаемое, то из целой части уменьшаемого берется единица и добавляется в числитель уменьшаемого:

\(1\frac38-\frac23=1+(\frac38-\frac23)=1+(\frac9{24}-\frac{16}{24})=\frac{24+9-16}{24}=\frac{17}{24}\\\\\\\)

При вычитании дроби из целого числа поступают аналогично:

\(2-\frac15=1\frac55-\frac15=1+\frac{5-1}5=1\frac45\\\\\\\)

Примеры

Посмотрим на примерах.

\(7\frac5{16}-2\frac1{16}=(7-2)+(\frac5{16}-\frac1{16})=5\frac4{16}=5\frac14;\\1\frac14-\frac23=1+(\frac{1\times3}{4\times3}-\frac{2\times4}{3\times4})=1+\frac{3-8}{12}=\frac{12+3-8}{12}=\frac7{12};\\\frac38+2=2\frac38\\\\\\\)

Задачи по теме «Сложение и вычитание дробей»

А теперь потренируемся в решении задач.

Задача 1

Команда школьников отправилась в туристический поход в горы. В первый день они прошли ²/₇ маршрута. На второй день была гроза, и они преодолели на ¹/₉ пути меньше. На третий день погода была хорошая, ребята встали пораньше и быстрым темпом прошли на ¹/₄ маршрута больше, чем в первый день.

Какую часть маршрута команда школьников преодолевала в каждый день и за три дня?

Задача 2

Используя правила вычитания дробей, решите пример:

\(3\frac2{21}-1\frac47\\\\\\\)

Задача 3

Александр и Петр устроились на работу в банк. При трудоустройстве зарплата у них была одинаковая. За год Александра два раза повысили. При первом повышении зарплату увеличили на четверть, а второй раз — на ²/₅ от той, что была при приеме на работу. Петр уволился из банка и устроился в частную компанию, а зарплата у него стала меньше, чем в банке на ¹/₅. Через полгода его повысили и увеличили зарплату на ¹/₃ от той, что была в банке. У кого зарплата стала больше: у Александра или Петра?

Ответы к задачам

Давайте подробно разберем решение каждой задачи и запишем верные ответы.

Задача 1

Найдем, какую часть маршрута проходили школьники каждый день.

В первый день прошли ²/₇ маршрута

Во второй день:

\(\frac27-\frac19=\frac{2\times9-1\times7}{63}=\frac{11}{63}\\\\\\\)

В третий день:

\(\frac27+\frac14=\frac{2\times4+1\times7}{28}=\frac{15}{28}\\\\\\\)

Всего прошли:

\(\frac27+\frac{11}{63}+\frac{15}{28}\\\\\\\)

Найдем общий знаменатель. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители:

7: 7

63: 3, 3, 7

28: 2, 2, 7

НОД(7; 63; 28) =7;

НОК (7;63; 28) =7 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 = 252

Найдем множители:

252 : 7 = 36; 252 : 63 = 4; 252 : 28 = 9

\(\frac{2\times36}{7\times36}+\frac{11\times4}{63\times4}+\frac{15\times9}{28\times9}=\frac{72+44+135}{252}=\frac{251}{252}\\\\\\\)

Ответ: во второй день школьники прошли ¹¹/₆₃ маршрута, в третий — ¹⁵/₂₈, а за три дня они прошли почти весь маршрут ²⁵¹/₂₅₂

Задача 2

Найдем общий множитель:

Знаменатель первой дроби делится на знаменатель второй без остатка, используем метод общего делителя:

21 : 9 = 3

\(3\frac2{21}-1\frac47==(3-1)+(\frac2{21}-\frac{4\times3}{7\times3})=2+(\frac{2-12}{21})\\\\\\\)

Числитель первой дроби меньше знаменателя, возьмем единицу из целой части:

\(1+(\frac{21+2-12}{21})=1\frac{11}{21}\\\\\\\)

Задача 3

\(После\;первого\;повышения\;зарплата\;Александра\;составила:\\\\\\1+\frac14=1\frac14\\\\\\\\После\;второго\;повышения:\\\\\\\\1\frac14+\frac15=1+(\frac{1\times5}{4\times5}+\frac{1\times4}{5\times4})=1\frac{5+4}{20}=1\frac9{20}\\\\\\\\У\;Петра\;после\;ухода\;в\;частную\;фирму\;зарплата\;уменьшилась:\\\\\\\\1-\frac15=\frac{5-1}5=\frac45\\\\\\\)

\(После\;повышения\;Петр\;зарабатывает:\\\\\\\\\\\frac45+\frac13=\frac{4\times3}{5\times3}+\frac{1\times5}{3\times5}=\frac{12+5}{15}=\frac{17}{15}=1\frac2{15}\\\\\\\)

Сравним зарплату Александра и Петра. Для этого приведем дроби к одному знаменателю.

Разложим знаменатели на простые множители:

20: 2, 2, 5

15: 3, 5

НОД(20; 15) = 5

НОК(20; 15) = 5 ∙ 2 ∙ 2 3 = 60

Найдем коэффициенты для дробей:

60 : 20 =3, 60 :15 = 4

\(Зарплата\;Александра\;1\frac9{20}=1\frac{9\times3}{20\times3}=1\frac{27}{60}\\\\\\\\\)

\(Зарплата\;Петра\;1\frac2{15}=1\frac{2\times4}{15\times4}=1\frac8{60}\\\\1\frac{27}{60}>1\frac8{60}\\\\\\\\\)

Ответ: зарплата Александра больше.

Сложение и вычитание дробей

Что такое сложение и вычитание дробей в математике

Полезная информация о сложении и вычитании дробей в математике

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Примеры

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Примеры

Сложение и вычитание смешанных дробей

Примеры

Задачи по теме «Сложение и вычитание дробей»

Ответы к задачам

Популярные вопросы и ответы

Как подготовиться к контрольной работе на тему «Сложение и вычитание дробей»?

Почему сложение и вычитание дробей начинают изучать в 5, 6 классах?

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике проверяется навык сложения и вычитания дробей?

Читайте также