Равнобедренный треугольник
Изучаем свойства равнобедренного треугольника и решаем задачи, чтобы закрепить материал
Одна из популярных тем школьного курса математики — равнобедренный треугольник. Ученики знакомятся с этой геометрической фигурой уже во втором классе.
В младшей школе дети чертят равнобедренные треугольники и сравнивают стороны, в средней — изучают их углы, медианы и биссектрисы, а в старших классах решают тригонометрические задачи. В этой статье освежим знания о равнобедренном треугольнике и расскажем про его основные параметры.
Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — это геометрическая фигура, треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти стороны называют боковыми. Третью сторону, которая может быть длиннее или короче двух других, называют основанием.
Первое определение равнобедренному треугольнику дал еще Евклид в III веке до н. э. А за два века до этого древнегреческий математик Фалес Милетский доказал основное свойство равнобедренного треугольника — равенство углов в его основании.
Полезная информация о равнобедренном треугольнике
| Равносторонний треугольник — «родственник» равнобедренного. | Треугольник, у которого равны все три стороны, — частный случай равнобедренного треугольника. |
| Углы в основании равнобедренного треугольника равны друг другу, а сумма всех углов геометрической фигуры равняется 180°. | Для равнобедренного треугольника действует общее правило о сумме углов. Если знать величину хотя бы одного угла, высчитать другие не составит труда. |
| В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают. | По медиане, биссектрисе и высоте можно вычислить, является ли треугольник равнобедренным. |
| Высота, медиана и биссектриса делят равнобедренный треугольник на две одинаковые фигуры. | Линия, которая делит пополам основание и угол равнобедренного треугольника, образует два одинаковых прямоугольных треугольника. |
| Из одного остроугольного равнобедренного треугольника можно получить четыре разных равнобедренных треугольника. | Это можно сделать с помощью трех отрезков. Они разделят треугольник на четыре не равные друг другу фигуры. |
Свойства равнобедренного треугольника
У равнобедренного треугольника есть несколько характерных особенностей. Перечислим основные из них.
Углы в основании треугольника равны друг другу. Например, если один из углов напротив боковой стороны равен 45°, второй угол в основании тоже будет равен 45°.
Если провести из углов основания к боковым сторонам биссектрису, медиану или высоту, эти отрезки будут равны друг другу.
Биссектриса, медиана и высота, которые проведены к основанию равнобедренного треугольника, тоже равны друг другу.
Если вы захотите начертить окружность вокруг или внутри равнобедренного треугольника, ее центром станут высота, биссектриса и медиана, которые проведены к основанию фигуры.
Угол напротив основания равнобедренного треугольника может быть тупым, прямым или острым. А углы напротив равных сторон всегда только острые.
это интересно
Периметр треугольника
Рассмотрим несколько способов вычислить периметр этой геометрической фигуры
подробнее
Признаки равнобедренного треугольника
Чтобы понять, что перед вами равнобедренный треугольник, не нужно проводить сложных расчетов. Достаточно найти хотя бы один из следующих признаков:
- два равных угла;
- две или три равные стороны;
- медиана, биссектриса и высота равны друг другу. Значит, если из угла равнобедренного треугольника провести линию, перпендикулярную основанию, она разделит основание и противоположный угол пополам.
Задачи по нахождению равнобедренного треугольника с решением
Чтобы лучше запомнить свойства равнобедренного треугольника, решим задачи с его параметрами.
Задача 1
В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ равно 12 см. Периметр фигуры равен 30 см. Найдите боковые стороны треугольника.
Дано:
АВ = 12 см
Р = 30 см
Найти: АС, ВС.
Решение: мы знаем периметр треугольника и его основание, а значит, можем посчитать сумму двух других сторон.
30 — 12 = 18 см
Теперь мы знаем, что АС + ВС = 18 см
Так как боковые стороны равны друг другу, разделим получившееся число пополам.
18 : 2 = 9 см
Ответ: боковые стороны АС и ВС равны 9 см.
Задача 2
В равнобедренном треугольнике АВС угол ВАС в основании равен 30°. Чему равны остальные углы?
Дано: ∠ВАС = 30°
Найти: ∠ВСА, ∠АВС
Решение: так как в равнобедренном треугольнике углы основания равны друг другу, мы без расчетов узнаем величину второго угла — ∠ВСА = 30°.
Согласно теореме, сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Исходя из этого, рассчитаем величину третьего угла.
180 — (30 + 30) = 180 — 60 = 120°
Ответ: ∠ВСА = 30°, ∠АВС = 120°.
Популярные вопросы и ответы
Сергей Шестаков, педагог, преподаватель математики, автор проекта «ЕГЭ Чемпион»
Как найти основание в равнобедренном треугольнике?
Чтобы решать задачи такого типа, нужно знать следующие моменты теории. Первое — все свойства равнобедренного треугольника. Второе — определения синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Третье — главное тригонометрическое тождество. Четвертое и последнее — таблицу тригонометрических функций стандартных углов (30, 45, 60 градусов).
Как найти, чему равен угол в равнобедренном треугольнике?
Тут надо помнить две вещи. Первая — теорема о сумме углов треугольника (их сумма равна 180°). Вторая — одно из свойств равнобедренного треугольника (его углы при основании равны). Решаем эту задачу через несложное уравнение.
Привожу пример с небольшим подвохом. Дан равнобедренный треугольник, наименьший угол в котором — 42°. Необходимо найти наибольший угол. Если задача имеет несколько решений, записать их сумму.
В данной задаче могут быть два случая, что некоторые могут не заметить. Первый — наименьший угол находится при вершине. Тогда за Х возьмем углы при основании.
Получаем уравнение: Х + Х + 42 = 180. Решаем. Получаем Х = 69.
Второй, менее очевидный, случай — наименьший угол находится при основании. Таких углов у нас два. Тогда за Х возьмем угол при вершине.
Получаем уравнение: 42 + 42 + Х = 180. Решаем. Получаем Х = 96.
Сумма результатов, как требовало условие задачи: 96 + 69 = 165.
Привожу пример с небольшим подвохом. Дан равнобедренный треугольник, наименьший угол в котором — 42°. Необходимо найти наибольший угол. Если задача имеет несколько решений, записать их сумму.
В данной задаче могут быть два случая, что некоторые могут не заметить. Первый — наименьший угол находится при вершине. Тогда за Х возьмем углы при основании.
Получаем уравнение: Х + Х + 42 = 180. Решаем. Получаем Х = 69.
Второй, менее очевидный, случай — наименьший угол находится при основании. Таких углов у нас два. Тогда за Х возьмем угол при вершине.
Получаем уравнение: 42 + 42 + Х = 180. Решаем. Получаем Х = 96.
Сумма результатов, как требовало условие задачи: 96 + 69 = 165.
Какие стороны в равнобедренном треугольнике равны?
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.
Иногда задачи бывают с подвохом: равнобедренный треугольник изображают таким образом, чтобы он «стоял» на боковой стороне (одной из равных), а не на основании. Будьте внимательны. Сами рисуйте равнобедренный треугольник, стоящим на основании, — так удобнее.
Иногда задачи бывают с подвохом: равнобедренный треугольник изображают таким образом, чтобы он «стоял» на боковой стороне (одной из равных), а не на основании. Будьте внимательны. Сами рисуйте равнобедренный треугольник, стоящим на основании, — так удобнее.
