Проценты в математике
Проценты окружают нас буквально повсюду: это и скидки в магазинах, и начисления по вкладам, и вероятность дождя в прогнозе погоды. Давайте разберемся, что такое проценты в математике и как их посчитать
«Ура, сегодня в нашем магазине скидки до сорока процентов!» – радостно встречает покупателей продавец в торговом центре. Звучит, конечно, впечатляюще, но что такое «сорок процентов»? Много это или мало? Чтобы определить, какой именно будет скидка на тот или иной товар, достаточно знать простые математические формулы.
Вместе с экспертом разберемся, что такое проценты в математике, как получить проценты от числа и определить в процентах разницу между двумя числами. Для лучшего понимания темы решим несколько задач из повседневной жизни.
Что такое проценты в математике
Процентом в математике называется одна сотая доля какой-либо величины. Стандартное обозначение процента – %.
Полезная информация о процентах в математике
Собрали основную информацию о процентах в удобную таблицу.
| Кратко о процентах в математике | Подробности |
|---|---|
| Стандартное обозначение процента | % |
| Один процент составляет одну сотую долю величины | 1% = 0,01 |
| Величина целиком равна ста процентам | 1 = 100% |
| В математических задачах число процентов может превышать 100 | Например, 157% от 87345 |
| Проценты от числа сравниваются как соответствующие им доли | 15% < 23%, как 0,15 < 0,23 |
Правило нахождения процента от числа
Для того, чтобы определить, чему равно определенное количество процентов от числа, необходимо разделить это число на 100, а потом умножить на необходимое количество процентов.
Например, нам нужно узнать, чему равны 24% от числа 16 700:
16 700 : 100 × 24 = 4 008
Формула нахождения процента от числа
Итак, общая формула нахождения процента от числа выглядит так:
\(X\%\;от\;Y=\frac Y{100}\times X\\\\\)
Не забывайте о том, что деление и умножение – равноправные действия, а значит, в данной формуле они выполняются последовательно.
Пример
Воспользуемся формулой для решения пары примеров.
17% от 345 = 345 : 100 ×17 = 58,65
185% от 8384 = 8384 : 100 ×185 = 15510,4
Правило нахождения числа по проценту
Часто бывает так, что в условии задачи дано значение какого-то числа процентов от неизвестного числа, например:
63% от X = 126
Чтобы вычислить X в примере выше, нужно значение (126) поделить на число процентов (63) и умножить на 100:
X = 126 : 3 × 100 = 200
Проверим, применив формулу нахождения процента от числа:
63% от 200 = 200 : 100 × 63 = 126
Значит, подсчитано верно.
Формула нахождения числа по проценту
Выведем общую формулу:
X% от Y = Z, тогда
\(Y\;=\;\frac ZX\times100\\\\\)
Пример
Применим формулу в решении:
73% от X = 219
X = 219 : 73 × 100 = 300
Интересно: используя эту формулу, можно также узнать, какой процент от одного числа составляет другое. Например, если в формуле X% от Y = Z нам известны Y и Z, то X вычисляется так: X = 100 × Z : Y.
Задачи по теме «Проценты в математике»
Легче всего понять принцип вычисления процентов в математике, решая практические задачи. Составим и решим несколько.
Задача 1
Дизайнер Екатерина, создающая рекламные материалы для магазина детской одежды «Солнышко», является самозанятой и платит налоги с полученных от директора выплат самостоятельно. Для рекламной кампании перед началом учебного года она подготовила брошюру, буклет и большой баннер. Всего за эту работу она получила 15 000 рублей авансом в июне и еще 25 000 рублей оплаты – в июле. По закону Екатерина должна оплатить налог в размере 6% от дохода. Какую сумму она должна заплатить за июнь и какую – за июль?
Задача 2
В магазине «Солнышко» перед началом распродажи имелось 450 белых футболок. За первый день было продано 180 футболок, за второй – 46% от изначального числа футболок. Вычислите:
1. Какой процент от общего числа футболок был продан в первый день.
2. Разницу в процентах между числом футболок, проданных во второй день, и проданных в первый.
Задача 3
Бухгалтер магазина «Солнышко» Зинаида Артемовна решила составить отчет о том, как связана выручка магазина и начало учебного года. Для этого она заполнила следующую таблицу:
| Месяц | Выручка магазина |
| Июль 2022 | 98 035 рублей |
| Август 2022 | 263 850 рублей |
| Июль 2023 | 115 860 рублей |
| Август 2023 | 340 100 рублей |
| Июль 2024 | 141 700 рублей |
| Август 2024 | 410 350 рублей |
Вычислите, на сколько процентов в среднем вырастает выручка в августе по сравнению с июлем.
Ответы к задачам
Решим приведенные выше задачи.
Задача 1
Для подсчета суммы налога достаточно полученную в оплату сумму разделить на 100 и умножить на размер налога в процентах:
15 000 : 100 × 6 = 900 рублей – за июнь
25 000 : 100 × 6 = 1 500 рублей – за июль
Задача 2
Итак, проведем вычисления последовательно.
- Какой процент от общего числа футболок был продан в первый день.
В первый день продано 180 футболок из 450-ти. Воспользуемся формулой для вычисления числа по проценту и подставим в нее известные величины:
X% от 450 = 180
X = 100 × 180 : 450 = 18 000 : 450 = 40
Ответ: в первый день было продано 40% всех футболок.
- Разницу в процентах между числом футболок, проданных во второй день, и проданных в первый.
Сначала вычислим, сколько футболок было продано во второй день:
450 : 100 × 46 = 207 штук
Нам нужно понять, какой процент от 180 футболок, проданных в первый день, составляет разница со вторым днем продаж:
207 – 180 = 27
X% от 180 = 27
X = 100 × 27 : 180 = 2 700 : 180 = 15
Ответ: во второй день было продано на 15% больше, чем в первый.
Задача 3
Для начала вычислим три соотношения: выручки за август к выручке за июль для каждого года. Для этого сумму за август разделим на сумму за июль, получив таким образом, во сколько раз августовская выручка превосходит июльскую. Округлим значения до сотых.
- 263 850 : 98 035 = 2,69
- 340 100 : 115 860 = 2,93
- 410 350 : 141 700 = 2,89
Выручка каждый год возрастала почти в три раза.
Чтобы понять, на сколько процентов (а не во сколько раз) возросла выручка, нам нужно от полученных чисел отнять единицу, а итог умножить на 100:
- 2,69 – 1 × 100 = 169
- 2,93 – 1 × 100 = 193
- 2,89 – 1 × 100 = 189
Теперь вычислим средний прирост, для этого сложим все числа и разделим на их количество, округлим до целых:
(169 + 193 + 189) : 3 = 184
Ответ: каждый год выручка в августе возрастает в среднем на 184 процента.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Как сравнить проценты?
Чтобы сравнить проценты, можно представить их как кусочки одного большого пирога, тогда наша задача — понять, какой из кусочков больше или меньше.
Представьте себе большой стол: на нем лежит пирог, который разделен на сто равных частей. Каждая часть представляет собой один процент от общего пирога. Теперь возьмем два кусочка этого пирога: один кусочек – это 50%, а другой – 25%.
Если вы возьмете кусочек в 50% и кусочек в 25%, то сразу увидите, что кусочек в 50% больше. Он занимает половину стола, в то время как кусочек в 25% – только четверть. Это и есть сравнение процентов: мы сравниваем, какая часть пирога больше или меньше.
Но что, если у нас есть два кусочка, которые не так очевидны? Например, один – 30%, а другой — 40%. В этом случае нам нужно сравнить цифры перед знаком процента: 40 больше 30-ти, а значит, и 40% больше, чем 30%.
Представьте себе большой стол: на нем лежит пирог, который разделен на сто равных частей. Каждая часть представляет собой один процент от общего пирога. Теперь возьмем два кусочка этого пирога: один кусочек – это 50%, а другой – 25%.
Если вы возьмете кусочек в 50% и кусочек в 25%, то сразу увидите, что кусочек в 50% больше. Он занимает половину стола, в то время как кусочек в 25% – только четверть. Это и есть сравнение процентов: мы сравниваем, какая часть пирога больше или меньше.
Но что, если у нас есть два кусочка, которые не так очевидны? Например, один – 30%, а другой — 40%. В этом случае нам нужно сравнить цифры перед знаком процента: 40 больше 30-ти, а значит, и 40% больше, чем 30%.
Почему проценты начинают изучать уже в 5-м классе?
Проценты начинают изучать в 5-м классе, потому что это понятие является одним из базовых математических инструментов. Оно широко используется не только в математике, но и в повседневной жизни, науке и других областях знаний. Умение работать с процентами помогает лучше понимать и анализировать различные процессы и явления, сравнивать их и делать обоснованные выводы.
Кроме того, изучение процентов способствует развитию логического мышления, вычислительных навыков и умения решать задачи. Это также помогает подготовить учащихся к более сложным темам в старших классах и дальнейшему изучению математики.
Кроме того, изучение процентов способствует развитию логического мышления, вычислительных навыков и умения решать задачи. Это также помогает подготовить учащихся к более сложным темам в старших классах и дальнейшему изучению математики.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике проверяется навык решения задач по теме «Проценты в математике»?
Несколько последних лет в ОГЭ по математике есть практико-ориентированные задачи (под номерами 1-5), которые моделируют реальные ситуации. Они проверяют умение применять математические знания и навыки в повседневной жизни. Как раз в них и могут встретиться задачи на проценты.
В ЕГЭ базового уровня умение вычислять проценты может пригодиться в простейших текстовых задачах (15 номер).
В первой части профильного ЕГЭ проценты можно встретить чаще всего в текстовых задачах (номер 10) и очень редко – в заданиях с прикладным содержанием (номер 9). Во второй части проценты с большой долей вероятности будут в «экономической задаче» (номер 16) и иногда, косвенно, в задаче на числа и их свойства (номер 19).
В ЕГЭ базового уровня умение вычислять проценты может пригодиться в простейших текстовых задачах (15 номер).
В первой части профильного ЕГЭ проценты можно встретить чаще всего в текстовых задачах (номер 10) и очень редко – в заданиях с прикладным содержанием (номер 9). Во второй части проценты с большой долей вероятности будут в «экономической задаче» (номер 16) и иногда, косвенно, в задаче на числа и их свойства (номер 19).
