Простые числа
Основа основ математики — простые числа. Распознать их несложно по одному свойству — способности делиться на единицу и себя. Вместе с экспертом разбираемся, что важно знать о простых числах и их особенностях
Простые числа — это настоящий строительный материал в математике. Это крупинки муки, из которой пекут хлеб. Это кирпичи, из которых строят дом. Это буквы, которые образуют слова. Простые числа лежат в основе всех расчётов и методов математического анализа. Именно с их изучения начинается математика.
Однако простыми эти числа только называются. При ближайшем рассмотрении и изучении они оказываются не такими уж и простыми. Их появление не поддаётся какой-либо логике или математическому алгоритму. Получается, что их нужно просто принять и использовать.
Определение простых чисел
Простым называется любое натуральное число, которое больше единицы и имеет два конкретных делителя: себя и единицу. Простые числа могут состоять как из одной, так и из нескольких цифр — вплоть до десятков тысяч. Например, простыми будут числа 7, 47, 617, 1567, 22277, 681787 и так далее.
Взаимно простые числа
Это числа, чей наибольший общий делитель равен единице. Например, 2, 11 и 419. Их объединяет только одно: возможность деления на единицу.
При этом взаимно простыми могут быть не только простые, но и составные числа. Так, 4 и 23 будут взаимно простыми. Поскольку их объединяет один показатель — способность делиться на единицу.
Самое большое простое число
Долгое время самым большим известным простым числом считалось простое число Мерсенна (M57885161). В его состав входит 17 425 170 десятичных цифр. Однако в век искусственного интеллекта и компьютерных технологий было обнаружено куда большее простое число. Это число — 282 589 933−1. Оно было зафиксировано в 2018 году благодаря проекту добровольных распределенных вычислений GIMPS. Десятичная запись этого числа представляет собой 24 862 048 цифр, что значительно превышает показатели предыдущего.
Наименьшее простое число
Наименьшим простым числом является 2. Это натуральное число, которое имеет два делителя — 1 и 2. Примечательно, что 2 — не только наименьшее простое число, но и единственное чётное простое число.
Список простых чисел до 100
До 100 встречается 25 простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Еще до нашей эры греческий математик Эратосфен придумал, как можно «вычислить» простые числа. Так, в цифровом ряду, скажем, от 20 до 50, сначала нужно удалить все числа кратные 2. Затем — 3, 5 и далее. В итоге останутся простые числа.
это интересно
Таблица простых чисел
Скачайте таблицу простых чисел и используйте ее при подготовке к урокам
Подробнее
5 тем по математике, которые легко забыть
Давайте освежим знания, чтобы быть готовыми к любой контрольной.
- Что такое среднее арифметическое и как его вычислить
- Разберемся, как правильно умножать дроби
- Проверим, является ли деление самой сложной операцией с дробями
- Дискриминант — самый быстрый способ решения квадратных уравнений
- Какие свойства могут быть у степеней
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Наталия Черняк, учитель математики.
Как определить, простое число или нет?
Это определяется с помощью деления. Например, возьмём два натуральных числа — 5 и 6 — и найдём их на делители. Это будет выглядеть так:
•5 делится на 1 и 5;
•6 делится на 1, 2, 3 и 6.
Как видим, у этих чисел разное количество делителей. А значит, и числа разные: одно простое, другое составное. Отсюда вытекает и определение простого числа: если натуральное число делится на 1 и на самого себя, то оно и есть простое.
Однако самый доступный способ определения простого числа — перебор делителей — для больших чисел не очень подходит. Например, вручную перебирать делители для числа 1283 — дело трудоёмкое. Поэтому для определения большого простого числа используют специальные компьютерные программы распознавания простых чисел.
•5 делится на 1 и 5;
•6 делится на 1, 2, 3 и 6.
Как видим, у этих чисел разное количество делителей. А значит, и числа разные: одно простое, другое составное. Отсюда вытекает и определение простого числа: если натуральное число делится на 1 и на самого себя, то оно и есть простое.
Однако самый доступный способ определения простого числа — перебор делителей — для больших чисел не очень подходит. Например, вручную перебирать делители для числа 1283 — дело трудоёмкое. Поэтому для определения большого простого числа используют специальные компьютерные программы распознавания простых чисел.
Как доказать, что числа взаимно простые?
Доказать несложно. Достаточно посмотреть на их делители, как в предыдущем примере. Если оба числа не имеют общих делителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми. В частности, как числа 5 и 6. А вот числа 4 и 6 взаимно простыми уже не будут, так как у них два общих делителя — 1 и 2.
Почему 1 не является простым числом?
1 в математике всегда занимает обособленную позицию. Этой обособленностью объясняется, то что 1 не принадлежит к простым числам. И доказать это не сложно. Из определения простого числа понятно, что оно делится на единицу и самого себя. Иными словами, должны быть два разных делителя. У 1 этого нет.
