Производная

В ЕГЭ по профильной математике часто встречаются задачи с функциями. Причем находить требуется не только их значения, но и производные. Вместе с репетитором по математике разбираемся, с помощью каких формул это можно сделать. 

Что такое производная в алгебре

Говоря простыми словами, производная – это то, что показывает скорость изменения функции. При этом она проявляется через зависимость одной переменной от другой.

Полезная информация о производной

Зачем это нужно	С помощью производной можно не только исследовать функцию, но и найти два ее значения – наивысшее и наименьшее
Все по формулам	Существует целый ряд производных, которые можно найти по простым формулам
Прямо из ЕГЭ	Задачи на нахождение производных точно встретятся на экзамене по профильной математике

Формулы производной

Любую задачу, в которой есть производная, можно решить с помощью формул. Поэтому во время подготовки к экзаменам школьники часто учат специальную таблицу. В ней прописываются производные основных элементарных функций. Давайте поговорим о каждой из них.

Производная от константы

Самой простой считается формула производной от константы. То есть от любого числа. Представим, что функция равна пяти. Тогда производная будет равна нулю. Просто запомните:

Если y = const, то y’ = 0.

Объяснить это несложно. Производная всегда показывает изменение координаты y относительно 0x. Однако в этом случае они попросту не пересекаются.

Производная от x

Если речь идет о производной от x, то ситуация меняется. В задачах на такую тему функция описывается следующим образом:

y = x.

Достаточно запомнить, что здесь x стоит в единственном значении. Он не имеет коэффициентов, с ним не производится никаких действий. Поэтому график всегда будет выглядеть как прямая линия, расположенная под углом в 45 градусов относительно обеих осей.

В таком случае производная функции всегда будет равна единице. То есть:

Если y = x, то y’ = 1.

Производная от степени

Теперь давайте поговорим о производной от степени. Если в задачах требуется найти именно ее, то функция описывается так:

y = x²

Тут производная будет вычисляться в несколько действий. Сначала показатель степени выносится перед x, а затем из него самого вычитается единица. Формула выглядит так:

y’ = nx^n-1

Производная от квадратного корня

Иногда в условии задачи может быть сказано, что нужно найти производную от квадратного корня. В таких упражнениях функция описывается уравнением:

y = √x

Вычислить производную здесь не намного сложнее, чем в предыдущих случаях. Запомните, что производная будет равна единице, деленной на двойной корень из x. То есть:

y’ = 1/2√x

Производная от синуса

Иногда для решения задачи требуется найти производную от синуса. При этом функция может быть задана, например, так:

y = sinx

Тут достаточно помнить, что синус неразрывно связан с косинусом. И производная будет равна именно косинусу. Формула:

y’ = cosx

Производная от косинуса

Правило неразрывной связи синусов и косинусов также работает в обратную сторону. Поэтому, например, найти производную функции y=cosx очень просто. Она равна синусу, но со знаком минуса. То есть:

y’ = -sinx

Производная от тангенса

С производной от тангенса немного сложнее. В таких задачах функция задана уравнением:

y = tgx

Здесь придется запомнить, что производная всегда равна единице, деленной на квадрат косинуса x. То есть:

y’ = 1/cos²(x)

Производная от котангенса

Если производная от тангенса находится с помощью косинуса, то производная от котангенса – через синус. Именно это и нужно помнить при решении задач, в которых функция задана уравнением:

y = ctgx.

В таких случаях производная всегда равняется единице со знаком минус, поделенной на квадрат синуса x. Формула не сложнее, чем предыдущая:

y’ = -1/sin²(x)

Производная от экспоненты

Найти производную от экспоненты проще всего. Здесь не понадобится ничего вычислять. Просто запомните, что она всегда равна самой экспоненте. То есть:

Если y = e^x, то y’ = e^x

Производная от показательной функции

Во всех задачах показательная функция имеет следующий вид:

y=a^x, где а – это любое число.

Причем зачастую в упражнениях просто начертить график недостаточно. Требуется найти производную от показательной функции. Сделать это несложно. Сначала возведите число в степень x, а затем умножьте результат на натуральный логарифм того же числа. Формула будет выглядеть так:

y’ = a^x × ln a

Производная от натурального логарифма

Если мы коснулись логарифмов, то стоит вспомнить, что они бывают двух видов: обычные и натуральные. В задачах нередко требуется найти производную именно от вторых. Причем сама функция задана уравнением:

y = ln x

В этом случае производная всегда равняется единице, деленной на x:

y’ = 1/x

Производная от логарифма

Иногда встречаются упражнения, в которых нужно найти производную от обычного логарифма. При этом функция задана таким уравнением:

y = log_aх

Здесь все немного сложнее, чем в случае с производной от натурального логарифма. Ответом будет то, что получится в результате деления единицы на произведение x и натурального логарифма числа. Последнее обозначается буквой a. Формула выглядит так:

y’ = 1/(x × ln a)

Свойства производной

Для решения задач недостаточно знать только формулы некоторых производных. Нужно запомнить еще и свойства. Давайте поговорим о каждом из них.

Первое. Если производная является результатом умножения числа на функцию, то производную можно извлечь сразу из самой функции. То, что получится, нужно умножить на то же число. Формула выглядит так:

(c × u)’ = c × u’

Второе. Если нужно найти производную от умножения одной функции на другую, то скобки можно раскрыть. Тогда ответом будет то, что получится в результате сложения производной одной функции, умноженной на другую, и производной второй функции, также умноженной на первую. То есть:

(u × v)’ = u’ × v + u × v’

Третье. Если нужно найти производную от алгебраической суммы функций, то можно раскрыть скобки и найти производную от каждой из функций. Тогда:

(u + v – w)’ = u’ + v’ — w’

Четвертое. Если нужно найти производную от частного двух функций, то можно выполнить несколько простых действий. Сначала нужно вычислить разность производной первой функции, умноженной на вторую, и производной второй функции, умноженной на первую, а затем поделить результат на квадрат второй функции. То есть:

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

Пятое. Если в задаче требуется найти производное сложной функции, то нужно будет умножить производную от внешней функции на производную от внутренней. Полученный результат и будет ответом. То есть:

(u(v(x)))’ = u’ (v) × v'(x)

Исследование функции с помощью производной

Производная часто используется для того, чтобы исследовать саму функцию. Сделать это можно по действиям. Для простоты понимания разберем на примере. Допустим, функция задана уравнением:

y(x) = x³-81x

В первую очередь нужно найти область определения. В данном случае это все действительные числа. То есть D(x) = R. Затем нужно проверить четность. В данном случае область функции симметрична относительно нуля. Поэтому вместо х в функцию можно подставить (-х). То есть:

y (x) = (-x)³ – 81(-x) = -x³ + 81x = -(x³ – 81x) = -y(x)

Здесь можно сделать вывод, что функция нечетная. Это упростит построение функции. График будет строиться только справа от оси координат, а затем зеркально отражаться относительно нуля.

Дальше придется вычислить значение функции в нуле. Тогда:

y(0) = 0³ – 81 × 0 = 0. То есть на графике будет присутствовать точка (0;0). Это нужно запомнить.

Затем найдем нули функции. Получится:

x³ – 81x = 0

x(x² – 81) = 0

x (x – 9) (x + 9) = 0

Тогда х = 0, х = 9, х = -9. Точки (9;0), (-9;0) можно отметить на графике.

Дальше найдем точку экстремума функции. Тут и понадобится производная. Ее нужно приравнять к нулю и найти стационарные точки. То есть:

y'(x) = 3x² – 81

3x² – 81 = 0

X² = 27

X = ±√27

Определим, где функция убывает и где возрастает. Построим график монотонности, а затем отметим на нем найденные точки:

После этого найдем значения функции в точках экстремума. Для этого подставим в функцию максимальное значение. Функция убывающая, поэтому это будет — √27. Тогда:

y(-√27 ) = (-√27 )³ – 81*(-√27) = -27√27 + 81√27  = 54√27.

Вторым действием подставляем то же значение, но со знаком плюса. То есть:

y(√27) = (√27)³ – 81*(√27) = 27√27 – 81√27 = -54√27..

Получатся две точки:(-√27; 54√27) и (√27; -54√27). Отметить их на графике сложно, поэтому найдем приближенные значения. То есть:

√27 ≈ 5,2, а 54√27 ≈ 280,5.

Останется только отметить точки на графике и соединить их между собой.

Построение графика функции с помощью производной

Благодаря анализу функции нам известны точки пересечения графика с осью 0х. Кроме того, мы знаем, что он симметричен относительно нуля. Останется только составить таблицу точек, чтобы нарисовать график точнее.

 Сам график будет выглядеть так:

Задачи на тему «Производная»

Если в некоторых задачах требуется найти саму производную, то в других ее значение требуется для дальнейшего решения. Разберем оба типа таких упражнений.

Задача 1

Найдите производную функции: y = (sin(x² – 4x + 4)).

Задача 2.

Функция задана уравнением y = (9 – х)e^9-x. Найдите точку минимума.

Ответы к задачам

Теперь проверим себя.

Задача 1

Перед нами сложная функция. Найти ее производную можно по формуле:

(u(v(x)))’ = u’ (v) × v'(x)

Просто подставим значения. Тогда получится:

y’ = cos(x² – 4x + 4) × (x² – 4x + 4)’ = (2x – 4) × cos(x-4)²

Ответ: (2x – 4) × cos(x-4)²

Задача 2

В первую очередь тут нужно будет найти производную заданной функции. Тогда:

y’ = (9 – х)’e^9-x + (9 – х) (e^9-x)’ = – e^9-x + (9 – х)e^9-x (– 1) = (x – 10)e^9-x

Останется только найти нули производной и отразить это на графике. Тогда:

(x – 10)e^9-x = 0

Х = 10

Ответ: 10.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Юлиана Журавлёва, репетитор по математике, специалист по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ: