Признаки делимости чисел
Как быстро определить, получится ли разделить конфеты из коробки между всеми детьми поровну? Узнаем, какие признаки делимости чисел существуют в математике и как ими пользоваться
Деление – одно из основных арифметических действий. Дети знакомятся с ним в начальной школе, чтобы потом использовать не только в математике, но и во многих других науках. А знания о признаках делимости чисел и вовсе помогают в повседневной жизни и детям, и взрослым. Например, когда мы выбираем такую упаковку сладостей, которую можно поровну разделить между всеми членами семьи, или считаем, хватит ли упаковки витаминов на несколько полных дней приема.
Что такое делимость чисел в математике
Делимостью числа называется возможность разделить его нацело на другое число. Например, число 4 обладает делимостью на 2, а 30 – делимостью на 2, 3, 4, 5, 6 и 10. Также можно сказать, что эти числа кратны своим делителям: 4 кратно двум.
Полезная информация о делимости чисел в математике
Соберем краткое описание признаков делимости чисел в единую таблицу. Более подробно все признаки и примеры их использования рассмотрим далее.
| Признак делимости | Описание |
|---|---|
| На 2 | Последняя цифра – 0, 2, 4, 6 или 8 |
| На 3 | Сумма всех цифр делится на 3 без остатка |
| На 4 | Две последние цифры – 00 или число, делящееся на 4 |
| На 5 | Число оканчивается на 0 или 5 |
| На 6 | Последняя цифра четная, а сумма всех цифр делится на 3 |
| На 7 | Если разница между числом с отброшенной последней цифрой и удвоенной этой цифрой делится на 7, то и исходное число делится на 7. |
| На 8 | Три последние цифры – 000 или число, делящееся на 8 |
| На 9 | Сумма всех цифр делится на 9 без остатка |
| На 10 | Число оканчивается на 0 |
| На 11 | Разница суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных — 0 или делится на 11 |
Свойства делимости чисел
Во многих случаях понять, обладает ли нужное нам число делимостью на что-то, можно, не пользуясь калькулятором и не производя собственно деление. Например, вы наверняка знаете, как определить, делится ли число на 10. Если число «круглое» и его последняя цифра – 0, то делится, во всех остальных случаях – нет.
Далее познакомимся с признаками делимости на другие числа.
Признаки делимости чисел на 2, 4, 8
С делимостью на 2 тоже редко возникают проблемы, так как уже с первого класса детей учат определять четные и нечетные числа. Четными, то есть делящимися на 2 без остатка, являются те, на конце которых стоит цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
С делимостью на 4 чуть сложнее. Для проверки необходимо взять две последние цифры рассматриваемого нами числа: если полученное двузначное число делится на 4 без остатка, то делится и исходное. А еще делимостью на 4 обладают все числа, оканчивающиеся двумя нулями.
Похожая ситуация и с делимостью на 8, только в этом случае в конце числа должны стоять три нуля или трехзначное число, делящееся на 8 без остатка. Но вот для чисел до 1 000 признака делимости на 8 не существует.
это интересно
Разложение числа на простые множители
Преподаватель математики – об умножении простых чисел и разложении числа на простые множители
Подробнее
Примеры
Возьмем для примера число 1 024, применим описанные выше признаки и проверим, делится ли оно на 2, 4 и 8.
Последняя цифра – 4, значит, число делится на 2.
Последние две цифры – 24. 24 / 4 = 6, делится без остатка. Значит, и исходное число обладает делимостью на 4.
Последние три цифры – 024, то есть проверяем число 24. Оно делится на 8 нацело, значит, и 1 024 также делится на 8.
Проверим все три утверждения:
1024 : 2 = 512
1024 : 4 = 256
1024 : 8 = 128
Признаки делимости чисел на 3, 9
Определить, делится ли число на 3 или на 9, достаточно легко. Нужно сложить все цифры, из которых оно состоит, и проверить, делится ли полученная сумма на 3 или 9 соответственно. Можно начинать с девятки: если делится на 9, то и на 3, конечно, делится тоже.
Примеры
Рассмотрим несколько чисел:
- 736. Складываем цифры: 7 + 3 + 6 = 16, не делится ни на 3, ни на 9. Значит, и исходное число 736 не обладает делимостью на 3 и 9.
- 456. Складываем: 4 + 5 + 6 = 15. На 3 делится, но на 9 – нет. То же и с исходным числом.
- 5 247. Сумма 5 + 2 + 4 + 7 = 18 делится 9. Значит, 5 247 обладает делимостью на 3 и на 9.
Признаки делимости чисел на 5
С делением на 5 разобраться легко: если число оканчивается на 0 или на 5, то оно кратно пяти. Ниже рассмотрим примеры.
Примеры
Подберем несколько чисел, которые делятся на 5 без остатка: 25, 72 647 475, 8 267 440, 110, 987 625. На конце у всех этих чисел стоит или 5, или 0.
Признаки делимости чисел на 6
Так как 6 – это произведение 2 и 3, все числа, которые делятся на эти два числа одновременно, будут делиться и на 6 тоже. То есть нам нужно проверить, что число оканчивается на 0 или любую четную цифру, а сумма всех его цифр делится на 3.
Примеры
Убедимся, что признак работает, и проверим несколько чисел на кратность шести.
186. Последняя цифра 6, четная. Сумма 1 + 8 + 6 = 15, на 3 делится без остатка. Значит, и исходное число 186 делится на 6. Проверка: 186 : 6 = 31.
7 662. Последняя цифра 2, а 7 + 6 + 6 + 2 = 21, что кратно трем. Проверим: 7 662 : 6 = 1 277.
Признаки делимости чисел на 7
Делимость на 7 проверяется следующим образом. В исходном числе нужно вычеркнуть последнюю цифру, получив новое число, длина которого на один знак меньше. После от полученного числа нужно отнять последнюю цифру исходного, умноженную на два. Если результат делится на 7, то делится и исходное число. Рассмотрим пример для лучшего понимания алгоритма проверки.
Примеры
Например, проверим, делится ли на 7 число 2 345. Для этого нам понадобится число 234 (отбрасываем последнюю цифру исходного числа). От него нужно отнять последнюю цифру исходного числа 2 345, умноженную на два, то есть удвоенную пятерку.
Вычислим: (234 — 5 × 2 ) : 7 = 32, значит, и 2 345 кратно семи.
Признаки делимости чисел на 10
Переходим к тому признаку, о котором упоминали выше. Делимость на 10 проверяется, пожалуй, проще всех других свойств: если последняя цифра числа – 0, то оно делится на 10.
По тому же принципу проверяется делимость на 100 (два нуля в конце числа), 1000 (три нуля) и так далее.
Примеры
Перечислим несколько чисел, которые точно делятся на 10: 643 750, 50, 870, 844 000, 45 600. В конце в каждом случае стоит ноль, а количество нулей определяет делимость на другие «круглые» числа. Например, 45 600 делится также на 100, а 844 000 – на 1000.
Признаки делимости чисел на 11
Делимость на 11 проверяется сравнением суммы цифр: стоящих на нечетных позициях в числе с суммой цифр, стоящей на позициях четных. Если суммы совпадают, число делится на 11. Удобнее разобрать признак на примере, приведем его ниже.
Примеры
Итак, рассмотрим число 112 046.
На нечетных позициях, то есть на первом, третьем и пятом местах в числе стоят цифры 1, 2 и 4, их сумма – 7. На четных (второй, четвертый и шестой) – цифры 1, 0 и 6, также дающие в сумме 7. Таким образом, число 112 046 делится на 11 нацело, проверим: 112 046 : 11 = 10 186.
Задачи по теме «Признаки делимости чисел»
Выполним несколько упражнений на применение признаков делимости чисел.
Задание 1
Определите, верны ли следующие утверждения:
- 677 делится на 2.
- 123 делится на 3.
- 816 делится на 4.
- 455 делится на 5.
- 591 делится на 6.
- 365 делится на 7.
- 5 104 делится на 8.
- 1 854 делится на 9.
- 3 450 делится на 10.
- 3 850 делится на 11.
Задание 2
Определите, делимостью на какие числа обладает число 39 916 800. Для выполнения задания проверьте, обладает ли это число каким-либо из перечисленных признаков делимости.
Ответы к задачам
Теперь проверим себя, пользуясь приведенными ответами.
Задание 1
Определите, верны ли следующие утверждения:
- 677 делится на 2. Неверно.
Последняя цифра числа 677 – 7, нечетная, значит, число на 2 не делится.
- 123 делится на 3. Верно.
1 + 2 + 3 = 6, делится на 3 нацело. Значит, 123 делится на 3. Проверим: 123 : 3 = 41.
- 816 делится на 4. Верно.
Последние цифры числа – 16, что кратно четырем. Значит, 816 делится на 4. 816 : 4 = 204.
- 455 делится на 5. Верно.
Последняя цифра 5, проверим: 455 : 5 = 91.
- 591 делится на 6. Неверно.
Число 591 не обладает делимостью на 2, а значит, не делится и на 6.
- 356 делится на 7. Неверно.
Отбросим последнюю цифру и получим 35. Посчитаем: 35 — 2 × 6 = 35 — 12 = 23, что не делится на 7.
- 5 104 делится на 8. Верно.
Последние цифры – 104, нацело на 8 делится. Проверим: 5 104 : 8 = 638.
- 1 854 делится на 9. Верно.
1 + 8 + 5 + 4 = 18, кратно девяти. Проверка: 1 854 : 9 = 206.
- 3 450 делится на 10. Верно.
В конце 0, значит, делится. 3 450 : 10 = 345.
- 3 850 делится на 11. Верно.
Сумма цифр на нечетных позициях 3 + 5 = 8. На четных: 8 + 0 = 8. Суммы совпали. Проверим: 3 850 : 11 = 350.
Задание 2
Проверим все признаки делимости числа 39 916 800.
Сразу заметим, что благодаря 00 на конце выполняется условие делимости на 2, 4, 5 и 10.
Проверим сумму цифр:
3 + 9 + 9 + 1 + 6 + 8 + 0 + 0 = 36.
Делится на 3 и 9, значит, исходное число обладает делимостью на 3 и 9.
Кратность 2 и 3 одновременно дает уверенность в делимости на 6.
Проверим делимость на 7:
(3 991 680 — 0) : 7 = 570 240. Выполняется.
Последние три цифры – 8, 0, 0.
800 делится на 8, значит, делится и исходное число.
Последним проверим признак делимости на 11:
3 + 9 + 6 + 0 = 18
9 + 1 + 8 + 0 = 18
Суммы совпадают – число кратно 11-ти.
Таким образом, доказано, что исходное число кратно всем числам от 2 до 11.
Путем вычислений можно убедиться в этом и узнать, что
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 = 39 916 800
Такое произведение всех чисел начиная с 1 и заканчивая каким-либо числом n называется также факториалом числа n и обозначается восклицательным знаком: n!. В данном случае 39 916 800 = 11!
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Вероника Петренко, старший преподаватель математики домашней школы «ИнтернетУрок»:
Как подготовиться к самостоятельной работе на тему «Признаки делимости чисел»?
Чтобы подготовиться к самостоятельной работе на тему «Признаки делимости чисел», необходимо, в первую очередь, изучить определения делимости, кратности и остатка от деления. Далее необходимо разобрать признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и прочие. Постараться понять не только формулировки признаков, но и их доказательства (хотя бы для самых основных). Также можно записать все признаки в таблицу или схему и, конечно же, порешать практические задачи, используя эти признаки.
Почему делимость чисел начинают изучать в 5 классе?
Делимость чисел начинают изучать в 5 классе, потому что в этом возрасте учащиеся уже обладают базовыми навыками работы с числами и арифметическими операциями. Изучение признаков делимости помогает развивать логическое мышление, учит анализировать числа и их свойства, что является важным этапом в математическом образовании.
Понимание делимости – фундаментальное понятие в математике. Оно необходимо для изучения дробей, обыкновенных и десятичных, процентов, алгебраических выражений, разложения чисел на простые множители, решения уравнений и неравенств, и многих других тем.
Понимание делимости – фундаментальное понятие в математике. Оно необходимо для изучения дробей, обыкновенных и десятичных, процентов, алгебраических выражений, разложения чисел на простые множители, решения уравнений и неравенств, и многих других тем.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике пригодится знание признаков делимости чисел?
Как такового задания на признаки делимости в ОГЭ или ЕГЭ нет, но понимание этих признаков существенно облегчает решение многих других задач из экзаменов. Признаки делимости могут быть полезны в задачах с обыкновенными и десятичными дробями, в задачах на преобразование выражений, в уравнениях и неравенствах, в некоторых задачах на комбинаторику и вероятность (например, при подсчете количества чисел, удовлетворяющих определенным условиям делимости).
