Положительные и отрицательные числа

Математики – это люди, которые стараются посчитать все, что только попадается им на глаза или приходит на ум. Но некоторые вещи сосчитать не так просто, как, например, книги на полке или буквы в тексте. Для тех явлений, которые невозможно описать обычными методами, математики придумывают абстракции: например, добавляют к обычным положительным числам не слишком понятные отрицательные. 

С положительными числами дети знакомятся в самом раннем возрасте, изучая арифметику в детском саду или начальной школе. Задачи на подсчет яблок, конфет или, скажем, пельменей знакомы практически каждому. К отрицательным числам школьники переходят позже, в 5-6 классе, но используют полученные знания потом всю жизнь. Среди привычных нам явлений отрицательным числом может быть обозначена температура, баланс на счете мобильного телефона, прибыль и многое другое.

Начальные знания о положительных и отрицательных числах включают правила их сложения, вычитания, деления и умножения. Что будет, если отнять от четырех восемь? Как вычесть 22 из нуля или увеличить -7 в три раза? Разберемся, что такое положительные и отрицательные числа, как легко их различить и использовать в математических вычислениях.

Что такое положительные и отрицательные числа в математике

Положительными в математике называются числа, значение которых больше нуля. Отрицательными, соответственно, – те, что меньше нуля. Сам ноль не относится ни к тем, ни к другим.

На письме перед отрицательными числами ставится знак минус, а положительные пишутся без всякого знака. Плюс добавляется лишь в редких случаях, например при обозначении температуры воздуха. Для удобства в математических выражениях отрицательные числа берутся в скобки: (-7).

Если все действительные числа расположить на прямой и разделить нулем, то положительные будут расположены справа, отрицательные – слева.

Чтобы сформулировать правила выполнения арифметических действий, запомним еще пару определений.

Противоположными числами называются такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком. Например, 5 и -5, 178 и -178. Одинаковая часть таких чисел называется модулем числа. Модуль равен положительному числу и противоположен отрицательному, а на письме обозначается вертикальными чертами: |x| = x, |-x| = x.

Полезная информация о положительных и отрицательных числах в математике

Собрали основные определения, требующиеся для выполнения вычислений с положительными и отрицательными числами, в таблицу.

Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули, а в ответ записать число, противоположное получившейся сумме. То есть ставим знак минус перед суммой модулей чисел.

Примеры

Решим пару примеров на нахождение суммы отрицательных чисел, чтобы лучше разобраться в правиле.

(-1) + (-5) = -(|-1| + |-5|) = -(1 + 5) = -6

(-34) + (-78) = -(|-34| + |-78|) = -(34 + 78) = -112

Сложение положительного и отрицательного числа

Суммой положительного и отрицательного числа будет разность положительного слагаемого и модуля отрицательного. Если модуль отрицательного числа больше модуля положительного, сумма будет отрицательной.

Примеры

Покажем, как сложить положительное и отрицательное число, на примерах:

10 + (-5) = 10 — (|-5|) = 10 — 5 = 5

25 + (-75) = 25 — (|-75|) = 25 — 75 = -50

Вычитание отрицательных чисел

Чтобы найти разность двух отрицательных чисел, нужно к уменьшаемому (оно стоит в разности первым) прибавить модуль вычитаемого (того числа, которое стоит вторым). Проделав это действие, мы получим сумму отрицательного числа (уменьшаемого) и положительного (модуля вычитаемого) и дальше сможем действовать по схеме для суммы положительного и отрицательного чисел. 

Примеры

Разберем примеры, на которых все станет понятнее.

(-10) — (-15) = (-10) + |-15| = (-10) + 15 = 15 + (-10) = 15 — 10 = 5

(-3) — (-1) = (-3) + |-1| = (-3) + 1 = 1 + (-3) = 1 — 3 = -2

Вычитание чисел с разными знаками

Если в случае сложения нам не важно, в какой последовательности в сумме стоят числа, то с разностью такой подход недопустим. Поэтому рассмотрим два варианта:

1. Отрицательное число вычитается из положительного.

В это случае применим уже известное нам правило о вычитании отрицательного числа и получим сумму положительного числа (бывшего уменьшаемым в разности) и модуля отрицательного (бывшего вычитаемым). То есть нам предстоит сложить положительное число и модуль отрицательного.

2. Положительное число вычитается из отрицательного.

Если из отрицательного числа нам нужно вычесть положительное, фактически мы получаем сумму уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому, то есть сумму двух отрицательных чисел. Складываем их модули и пишем в ответе число, противоположное этой сумме.

Примеры

Приведем примеры для обоих случаев.

30 — (-20) = 30 + |-20| = 30 + 20 = 50

(-50) — 40 = -(|-50| + |-40|) = — (50 + 40) = -90

это интересно

Модуль числа

Вспомним основные формулы и разберем частые вопросы, чтобы уверенно решать задачи на эту тему

Подробнее

Умножение отрицательных чисел

Переходим к чуть более сложному действию – умножению. Здесь нам пригодится известное и используемое во многих сферах жизни правило «минус на минус дает плюс». Давайте поймем, как оно работает.

Все достаточно легко: при перемножении двух отрицательных чисел минусы, стоящие перед ними, пропадают и фактически нам нужно перемножить модули этих чисел.

Примеры

(-3) × (-7) = |-3| × |-7| = 3 × 7 = 21

(-2) × (-33) = |-2| × |-33| = 2 × 33 = 66

Умножение чисел с разными знаками

Чтобы найти произведение двух чисел, имеющих разные знаки, нужно перемножить модули этих чисел, а перед результатом поставить минус. Часто говорят, что в таких выражениях «минус выносится за скобки».

Примеры

3 × (-7) = -(|3| × |-7|) = -(3 × 7) = -21

2 × (-33) = -(|2| × |-33|) = -(2 × 33) = -66

Деление отрицательных чисел

Правило о том, что минус на минус дает плюс, работает и для частного двух отрицательных чисел. Если и делитель, и делимое меньше нуля, их частное будет положительным, а для его нахождения нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Примеры

(-33) : (-1) = |-33| : |-11| = 33 : 11 = 3

(-20) : (-4) = |-20| : |-4| = 20 : 4 = 5

Деление чисел с разными знаками

Для нахождения частного двух чисел, имеющих разные знаки, нам неважно, какое из чисел отрицательное: достаточно найти частное модулей, а перед результатом поставить минус. Самое главное – ни в коем случае не менять числа местами, иначе результат деления будет неверным!

Примеры

(-36) : (6) = -(|-36| : |6|) = -(36 : 6) = -6

(16) : (-2) = -(|16| : |-2|) = -(16 : 2) = -8

Задачи по теме «Положительные и отрицательные числа»

Выполним несколько упражнений, в каждом из которых нас ждут примеры одного из случаев, описанных выше.

Задание 1

Вычислите:

1. 5 + (-6)
2. (-2) + (-3)
3. (-7) + 8 

Задание 2

Найдите разность чисел:

1. 5 — (-2)
2. (-7) — 10
3. (-14) — (-22)

Задание 3

Посчитайте, чему равно произведение чисел:

1. 5 × (-3)
2. (-4) × (-9)
3. (-7) × 2

Задание 4

Вычислите частное чисел:

1. 8 : (-4)
2. (-30) : 5
3. (-40) : (-20)

Ответы к задачам

Выполним действия и сверимся с ответами, приведенными ниже.

Задание 1

Вычислите:

1. 5 + (-6) = 5 — 6 = -1
2. (-2) + (-3) = -(2 + 3) = -5
3. (-7) + 8 = 8 + (-7) = 8 — 7 = 1

Задание 2

Найдите разность чисел:

1. 5 — (-2) = 5 + 2 = 7
2. (-7) — 10 = — (7 + 10) = -17
3. (-14) — (-22) = (-14) + 22 = 22 — 14 = 8

Задание 3

Посчитайте, чему равно произведение чисел:

1. 5 × (-3) = — (5 × 3) = -15
2. (-4) × (-9) = 4 × 9 = 36
3. (-7) × 2 = — (7 × 2) = -14

Задание 4

Вычислите частное чисел:

1. 8 : (-4) = -(8 : 4) = -2
2. (-30) : 5 = -(30 : 5) = -6
3. (-40) : (-20) = 40 : 20 = 2

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Юлия Крутова, учитель математики и физики МОУ СОШ №16, Орехово-Зуевский городской округ: