Подобные треугольники: определение, коэффициент подобия, признаки, свойства, площади и периметры подобных треугольников, задачи с ответами для 8 класса по геометрии и подготовки к ЕГЭ по математике

Вообразите на мгновение, что вы фотографируете красивые здания. Если сделать снимок издалека, объект будет маленьким, а вблизи — большим. Но его форма останется прежней! Вот так работают подобные треугольники: они помогают нам видеть и понимать пропорции окружающего мира, даже когда вещи кажутся разными по размеру.

В этой статье мы разберемся, что такое подобные треугольники. Вы узнаете, как находить среди треугольников те, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры. Мы определим, какие треугольники называются подобными, и научимся применять их свойства на практике. Эти знания помогут вам глубже понять геометрию и расширить ваши математические навыки.

Что такое подобные треугольники в геометрии

Представьте, что у вас есть два треугольника: один побольше, другой поменьше. Они называются подобными, если их углы точно совпадают, а стороны одного треугольника просто увеличены или уменьшены по сравнению с другим, словно один из них — это увеличенная копия другого. Например, если у большого треугольника сторона вдвое длиннее, чем у маленького, то и все остальные стороны тоже будут в два раза больше.

\(\angle A\;=\;\angle A_1,\;\angle\;B\;=\;\angle B_1,\;\angle C\;=\;\angle C_1\)

\(\triangle ABC\;\sim\triangle A_1B_1C_1\Leftrightarrow\frac{AB}{A_1B_1}\;=\;\frac{BC}{B_1C_1}\;=\;\frac{CA}{C_1A_1}\;=\;k\)

Отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого называется коэффициентом подобия (k).

Полезная информация о подобных треугольниках

Эти данные помогут вам лучше понять, как работают подобные треугольники и как их можно применять в различных задачах.

Параметр	Информация о подобных треугольниках
Подобие треугольников	Треугольники называются подобными, если у них одинаковые углы и пропорциональные стороны
Символ подобия	Подобие треугольников обозначается специальным символом – знаком тильды (~), который читается как «подобен»
Масштабный коэффициент	Число, показывающее, во сколько раз увеличивается или уменьшается сторона одного треугольника относительно другого
Пропорциональность сторон	Стороны треугольников соотносятся между собой как масштабный коэффициент

Признаки подобия треугольников

Под признаками подобия треугольников понимаются условия, при выполнении которых можно утверждать, что два треугольника подобны. Далее мы рассмотрим три ключевых признака, которые позволяют легко определить, являются ли треугольники подобными.

Первый признак подобия треугольников

Если два треугольника имеют попарно равные углы, то они обязательно подобны. Даже если размеры сторон разные, форма остается одной и той же.

\(\mathrm{Рассмотрим}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1:\:\\\mathrm{если}\;\angle\mathrm A\;=\;\angle{\mathrm A}_1\;\mathrm и\;\angle\;\mathrm B=\;\angle{\mathrm B}_1\:,\:\mathrm{то}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\sim\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1.\;\)

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и угол между этими сторонами совпадает, то треугольники подобны.

\(\mathrm{Рассмотрим}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1:\:\\\mathrm{если}\;\angle\mathrm A\;=\;\angle{\mathrm A}_1\;\mathrm и\;\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\:=\;\frac{\mathrm{AC}}{{\mathrm A}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\mathrm k,\:\mathrm{то}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\sim\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1.\;\)

Третий признак подобия треугольников

Если все три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

\(\mathrm{Рассмотрим}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1:\:\\\mathrm{если}\;\;\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\:=\;\frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\mathrm k,\:\mathrm{то}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\sim\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1.\;\)

это интересно

Равнобедренный треугольник

Определение, свойства и признаки равнобедренного треугольника

Подробнее

Свойства подобных треугольников

Когда треугольники подобны, между ними есть несколько интересных особенностей. Рассмотрим основные свойства подобных треугольников, которые помогут лучше понимать их особенности.

Отношение периметров подобных треугольников

Периметры подобных треугольников относятся друг к другу как соответствующие стороны. Если стороны одного треугольника больше в k раз, то и периметр будет больше в k раз.

\(\mathrm{Рассмотрим}\;\mathrm{подобные}\;\mathrm{треугольники}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1:\:\\\mathrm{так}\;\mathrm{как}\;{\triangle\mathrm{ABC}}\;\sim\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1,\;\mathrm{то}\;\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\mathrm k,\;\\\mathrm{где}\;\mathrm k\;-\;\mathrm{коэффицент}\;\mathrm{подобия},\:\mathrm{тогда}\;\frac{{\mathrm Р}_{\triangle\mathrm{ABC}}}{{\mathrm Р}_{\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}}\;=\;\mathrm k.\)

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия — это число, которое показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого. Если коэффициент подобия равен k, то отношение площадей будет равно k².

\(\mathrm{Рассмотрим}\;\mathrm{подобные}\;\mathrm{треугольники}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1:\:\\\mathrm{так}\;\mathrm{как}\;{\triangle\mathrm{ABC}}\;\sim\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1,\;\mathrm{то}\;\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\mathrm k,\;\\\mathrm{где}\;\mathrm k\;-\;\mathrm{коэффицент}\;\mathrm{подобия},\:\mathrm{тогда}\;\frac{{\mathrm S}_{\triangle\mathrm{ABC}}}{{\mathrm S}_{\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}}\;=\;\mathrm k^2.\)

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников

Все элементы подобных треугольников (стороны, высоты, медианы, биссектрисы) пропорциональны с коэффициентом подобия. Если стороны одного треугольника больше в k раз, то и все остальные элементы тоже будут больше в k раз.

Это объясняется тем, что подобные треугольники имеют одинаковые углы, а пропорции между сторонами, высотами, медианами, биссектрисами и радиусами окружностей сохраняются.

\(\mathrm{Пусть}\;\triangle\mathrm{ABC}\;\mathrm и\triangle{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1\;\;–\;\mathrm{два}\;\mathrm{подобных}\;\mathrm{треугольника}\;\mathrm с\;\\\mathrm{коэффициентом}\;\mathrm{подобия}\;\mathrm k.\;\mathrm{Тогда}\;\mathrm{отношения}\;\mathrm{соответствующих}\;\mathrm{элементов}\;\\\mathrm{этих}\;\mathrm{треугольников}\;\mathrm{выражаются}\;\mathrm{следующим}\;\mathrm{образом}:\:\\\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\frac{\mathrm h}{{\mathrm h}_1}\;=\;\frac{\mathrm m}{{\mathrm m}_1}\;=\;\frac{\mathrm b}{{\mathrm b}_1}\;=\;\frac{\mathrm r}{{\mathrm r}_1}\;=\;\frac{\mathrm R}{{\mathrm R}_1}\;=\;\mathrm k,\;\mathrm{где}\)

h и h₁ — высоты, проведенные из соответствующих углов;
m и m₁ — медианы, проведенные из соответствующих углов;
b и b₁ — биссектрисы, проведенные из соответствующих углов;
r и r₁ — радиусы вписанных окружностей;
R и R₁ — радиусы описанных окружностей;
k — коэффициент подобия, который показывает, во сколько раз один треугольник больше другого.

Задачи по теме «Подобные треугольники»

Давайте вместе решим несколько задач. Подобные задачи встречаются в ЕГЭ базового уровня и ОГЭ по математике.

Задача 1

Фонарь закреплен на столбе на высоте 3,6 м. Человек стоит на расстоянии 4 м от столба и отбрасывает тень длиной 2 м. Какого роста человек? Ответ дайте в метрах.

Задача 2

Углы А и В треугольника АВС равны углам А₁ и В₁ треугольника соответственно. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, СА = 8 и P_A1B1C1 = 54. Найдите наименьшую сторону треугольника A₁B₁C₁.

Задача 3

Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 22, MN = 12. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MNB.

Ответы к задачам

Ниже приводим подробные решения и ответы к каждой задаче. Проверьте себя по ним.

Задача 1

На чертеже изображено условие задачи. Требуется найти рост человека, то есть значение h. Рассмотрим на рисунке два прямоугольных треугольника: маленький и большой. У данных треугольников есть еще общий угол, значит, данные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, то есть запишем соответствующие соотношения:

\(\frac{3,6}h\;=\;\frac62;\;\frac{3,6}h\;=\;3;\;h\;=\;\frac{3,6}{3\;}\;=\;1,2\;(м)\)

Задача 2

Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁:
∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁ (по условию), значит △ АВС ~ △А₁В₁С₁ по первому признаку подобия треугольников. Треугольники подобны, тогда выполняются отношения подобия:

\(\frac{{\mathrm P}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm P}_{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}}\;=\;\mathrm k,\;\frac{\mathrm{AB}\;+\:\mathrm{BC}\;+\:\mathrm{CA}\:}{54}\;=\;\mathrm k,\\\frac{10\;+\;\;9\;+\:8}{54}\;=\;\mathrm k,\;\mathrm k\;=\;\frac12.\)

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, то есть выполняются следующие отношения подобия:

\(\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\mathrm k,\;\frac{10}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac9{{\mathrm B}_1{\mathrm C}_1}\;=\;\frac8{{\mathrm C}_1{\mathrm A}_1}\;=\;\frac12,\)

отсюда получаем:

\(\frac{10}{{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1}\;\;=\;\frac12\;\;\;\;\;\;{\mathrm A}_1{\mathrm B}_1\;=\;2\\\frac9{{\mathrm B}_1{\mathrm С}_1}\;\;=\;\frac12\;\;\;\;\;\;{\mathrm B}_1{\mathrm С}_1\;=\;18\\\frac8{{\mathrm С}_1{\mathrm A}_1}\;\;=\;\frac12\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm С}_1{\mathrm A}_1\;=\;16\)

Значит, наименьшая сторона треугольника A₁B₁C₁ равна 16.

Ответ: 16

Задача 3

Рассмотрим треугольники АВС и МВN:

Угол В – общий. Угол ВАС равен углу ВМN как накрест лежащие при параллельных прямых АС и MN и секущей АВ (по признаку параллельности прямых). Значит, ∆АВС ~ ∆MBN по первому признаку подобия треугольников.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, то есть

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MB}}\;=\;\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BN}}\;=\;\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{MN}}\;=\;\mathrm k.\\\mathrm{Следовательно},\;\mathrm{найдем}\;\mathrm{коэффициент}\;\mathrm{подобия}\;\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{MN}}=\;\mathrm k,\\\mathrm k\;=\;\frac{22}{12}\;=\;\frac{11}6.\\\mathrm{Так}\;\mathrm{как}\;\frac{{\mathrm S}_{\mathrm{ABC}}}{{\mathrm S}_{\mathrm{MBN}}}\;=\;\mathrm k^2,\;\mathrm{тогда}\;\frac{121}{{\mathrm S}_{\mathrm{MBN}}}\;=\;\left(\frac{11}6\right)^2,\\\frac{121}{{\mathrm S}_{\mathrm{MBN}}}\;=\;\frac{121}{36},\:{\mathrm S}_{\mathrm{MBN}}\;=\;36.\\\)

Ответ: S_MBN = 36.

Популярные вопросы и ответы

Чем отличаются равные треугольники от подобных?

Равные треугольники — это такие треугольники, у которых все стороны и углы полностью совпадают. Они как близнецы: если положить один на другой, они идеально подойдут друг к другу.

А вот подобные треугольники похожи, но могут быть разного размера. Представьте, что вы взяли фотографию треугольника и увеличили ее: углы останутся такими же, а стороны станут длиннее или короче в одинаковое количество раз. Такие треугольники называют подобными.

Почему подобные треугольники изучают в 8 классе?

Изучение подобных треугольников в 8 классе важно по нескольким причинам.

Основы геометрической мысли: понятие подобия развивает умение видеть общие закономерности в разных фигурах, что является важным этапом в развитии пространственного воображения.
Подготовка к более сложным темам: поняв принцип подобия, легче освоить более сложные темы, такие как теоремы синусов и косинусов, которые понадобятся позже в курсе геометрии.
Практическое применение: знание свойств подобных треугольников полезно в реальной жизни, например при создании чертежей, карт или моделей, где важно сохранить пропорции объектов.
Логика и критическое мышление: работа с подобием учит анализу и сравнению величин, развивая навыки логического рассуждения.
Таким образом, изучение подобных треугольников закладывает прочную основу для дальнейшего освоения математики и прикладных наук.

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике понадобится знание темы «Подобные треугольники»?

Конкретные номера заданий могут меняться каждый год, поскольку экзаменационные материалы обновляются. Однако можно выделить типы задач, которые регулярно встречаются в вариантах ОГЭ и ЕГЭ и требуют знания темы «Подобные треугольники».

В ОГЭ задание № 16 (геометрия) часто включает задачи на нахождение длин сторон треугольника, площади или периметра, связанных с подобием.Задания № 23-25 (геометрия) могут содержать задачи на построение и доказательства, основанные на свойствах подобных треугольников.
В ЕГЭ базового уровня (задания № 9-13) иногда включают задачи на вычисление длин сторон, площадей или периметров, связанных с подобием. Задания №1 и №3 профильного уровня содержат задачи повышенной сложности, где требуются глубокие знания темы, например работа с подобием в стереометрии.
Задания с развернутым ответом (№14, 17) могут включать задачи на доказательство равенства отрезков или углов с использованием свойств подобных треугольников.
Эти номера заданий служат ориентиром, но для подготовки стоит ориентироваться на типовые задачи, включающие работу с подобием треугольника.