Площадь треугольника: формулы нахождения S треугольника, примеры решения задач c объяснениями экспертов, тема по математике для 4 класса

С основами геометрии дети начинают знакомиться еще в начальной школе. Одним из важных понятий этой науки является площадь треугольника. В этой статье мы рассмотрим несколько способов ее вычисления.

Что такое площадь треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и попарно соединяющими их отрезками.

Площадь треугольника – численная характеристика, из которой мы узнаем о размере части плоскости, ограниченной данной фигурой.

Полезная информация о площади треугольника

Кто первым вычислил площадь треугольника	Одним из первых математиков, который дал точную формулу для вычисления площади треугольника, был греческий математик Герон Александрийский в I веке н.э. Формула, названная в его честь формулой Герона, используется до сих пор.
Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. (равновеликих)	Медиана делит сторону КР на два равных отрезка КС=СР, высота МН общая для △КМС и △СМР S△КМС= S△СМР (рис 1)
Площадь треугольника является одним из базовых понятий геометрии	Так как при изучении всего курса геометрии и не только, встречаются задачи, в которых необходимо найти площадь треугольника. Ну а самое главное – эти знания необходимы при прохождении итоговой аттестации.

Формулы площади треугольника

Далее мы рассмотрим различные формулы для вычисления площади треугольников. Каждая из них может быть полезна в разных ситуациях, в зависимости от того, какие данные о треугольнике известны.

Например, если известны длины всех сторон треугольника, то можно использовать формулу Герона.

Если же известна только одна сторона и высота, опущенная на нее, то можно использовать более простую формулу. В любом случае знание разных формул поможет быстро и точно вычислить площадь треугольника.

Любой треугольник

Существуют различные виды треугольников.

По сторонам: разносторонний, равнобедренный, равносторонний;
По углам: остроугольный, тупоугольный, прямоугольный.

Площадь треугольника по стороне и высоте, опущенной на эту сторону:

$$S=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$$

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

$$S\;=\;\frac12\cdot m\cdot n\cdot\sin\left(\operatorname{𝜶}\right)$$

Площадь треугольника по трем сторонам (формула Герона).
P – периметр, сумма длин всех сторон треугольника:

P = a+b+c
p – полупериметр: p = P : 2

$$S\;=\;\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$$

Площадь треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности:

$$S\;=\;\frac{a\;\cdot b\;\cdot c}{4R}$$

Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S=p\cdot r,\;где\;p=\frac{(a+b+c)}2$$

Прямоугольный треугольник

Для данного вида треугольника существует «своя» формула, полученная из данной формулы:

$$S\;=\;\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\left(\angle C\right)$$

$$Так\;как\;\sin\left(\angle С\right)=\\=\sin\left(90^\circ\right)=1,\:\\то\;S\;=\;\frac12\cdot a\cdot b$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

Равнобедренный треугольник

Если по условию задачи дан угол 𝜶 и сторона b равнобедренного треугольника, то его площадь можно найти по формуле:

$$S\;=\;\frac12\cdot b\cdot b\cdot\sin\operatorname{𝜶}\;=\;\frac12\cdot b^2\cdot\sin\operatorname{𝜶}$$

Если известны основание и высота, опущенная на это основание из вершины треугольника, то используем формулу другую:

$$S\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a$$

Рассмотрим случай когда известны длины сторон а и b.

$$Чтобы\;воспользоваться\;формулой\;S\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a,\;\\необходимо\;найти\;высоту\;h_{a.}\;\\Используя\;теорему\;Пифагора:\:\\h_a\;=\sqrt{b^{2\;}-\frac{a^2}4\;}=\frac12\cdot\sqrt{4b^2-a^2}$$

Подставляя все данные в формулу получим:

$$S=\frac12\cdot a\cdot\frac12\cdot\sqrt{4b^2-a^2}=\frac a4\cdot\sqrt{4b^2-a^2}$$

Задачи на нахождение площади треугольника с решением

Рассмотрим пару задач на вычисление площади треугольника, чтобы закрепить материал.

Задача 1

Периметр равностороннего треугольника равен 48 мм. Найдите площадь данного треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник

Р = 48 мм

Найти: площадь треугольника (S)

Решение:

В равностороннем треугольнике длины сторон и градусные меры углов равны, значит длина стороны равна 16 мм.

а = Р : 3; а = 48 : 3 =16 (мм)

Воспользуемся формулой S = ¹/₂ х m х n х 𝙨𝙞𝙣 𝜶

S= ¹/₂ х а х а х 𝙨𝙞𝙣 60⁰

S =¹/₂ х 16 х 16 х ^√3/₂= 64√3 (мм²)

Ответ: 64√3 мм²

Задача 2

Площадь треугольника КМС равна 32 см². МС – медиана треугольника КМР. Найдите площадь треугольника КМР.

Дано:

S△КМС = 32 см²

МС – медиана треугольника КМР

Найти: S△КМР

Решение:

Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. Значит, чтобы найти площадь треугольника КМР, надо 32 х 2 = 64 (см²)

Ответ: 64 см²

Популярные вопросы и ответы

В чем измеряется площадь треугольника?

Площадь треугольника измеряется в квадратных единицах длины, например мм², см², дм², м²и так далее.

Для чего нужно уметь вычислять площадь треугольника?

Способность вычислять площадь треугольника будет полезной во многих областях: геометрия, строительство, архитектура, инженерия и множество других.

Например, зная площадь треугольника, можно рассчитывать количество материала, необходимое для изготовления фигуры, а также определить площадь участка земли для постройки огорода и дачного дома. Умение вычислять площадь треугольника также может быть полезным при решении различных задач в математике и научных исследованиях.

Почему площадь треугольника изучают в 4 классе?

В 4 классе начинается изучение основ геометрии, в том числе понятия площади и периметра фигур. Площадь треугольника ребята изучают с помощью палетки, а прямоугольного треугольника – достраиванием до прямоугольника и делением пополам.

Площадь треугольника является важным понятием геометрии, и ее изучение помогает ученикам развивать свои навыки в области математики и пространственного мышления. Кроме того, понимание площади треугольника может быть полезным при решении задач в других предметах, таких как физика и география.