Площадь треугольника

С основами геометрии дети начинают знакомиться еще в начальной школе. Одним из важных понятий этой науки является площадь треугольника. В этой статье мы рассмотрим несколько способов ее вычисления. 

Что такое площадь треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и попарно соединяющими их отрезками.  

Площадь треугольника – численная характеристика, из которой мы узнаем о размере части плоскости, ограниченной данной фигурой.

Полезная информация о площади треугольника

Формулы площади треугольника

Далее мы рассмотрим различные формулы для вычисления площади треугольников. Каждая из них может быть полезна в разных ситуациях, в зависимости от того, какие данные о треугольнике известны.

Например, если известны длины всех сторон треугольника, то можно использовать формулу Герона.

Если же известна только одна сторона и высота, опущенная на нее, то можно использовать более простую формулу. В любом случае знание разных формул поможет быстро и точно вычислить площадь треугольника.

Любой треугольник

Существуют различные виды треугольников.

1. По сторонам: разносторонний, равнобедренный, равносторонний;
2. По углам: остроугольный, тупоугольный, прямоугольный.

Площадь треугольника по стороне и высоте, опущенной на эту сторону: 

$$S=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$$

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: 

$$S\;=\;\frac12\cdot m\cdot n\cdot\sin\left(\operatorname{𝜶}\right)$$

Площадь треугольника по трем сторонам (формула Герона).
P – периметр, сумма длин всех сторон треугольника:

P = a+b+c
p – полупериметр: p = P : 2

$$S\;=\;\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$$

Площадь треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности:

$$S\;=\;\frac{a\;\cdot b\;\cdot c}{4R}$$

Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$S=p\cdot r,\;где\;p=\frac{(a+b+c)}2$$

Прямоугольный треугольник

Для данного вида треугольника существует «своя» формула, полученная из  данной формулы:   

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

Равнобедренный треугольник

Если по условию задачи дан угол 𝜶 и сторона b равнобедренного треугольника, то его площадь можно найти по формуле:

$$S\;=\;\frac12\cdot b\cdot b\cdot\sin\operatorname{𝜶}\;=\;\frac12\cdot b^2\cdot\sin\operatorname{𝜶}$$

Если известны основание и высота, опущенная на это основание из вершины треугольника, то используем формулу другую:

$$S\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a$$

Рассмотрим случай когда известны длины сторон а и b.

$$Чтобы\;воспользоваться\;формулой\;S\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a,\;\\необходимо\;найти\;высоту\;h_{a.}\;\\Используя\;теорему\;Пифагора:\:\\h_a\;=\sqrt{b^{2\;}-\frac{a^2}4\;}=\frac12\cdot\sqrt{4b^2-a^2}$$

Подставляя все данные в формулу получим:

Задачи на нахождение площади треугольника с решением

Рассмотрим пару задач на вычисление площади треугольника, чтобы закрепить материал.

Задача 1

Периметр равностороннего треугольника равен 48 мм. Найдите площадь данного треугольника. 

Дано:

Равносторонний треугольник

Р = 48 мм

Найти: площадь треугольника (S)

Решение:

В равностороннем треугольнике длины сторон и градусные меры углов равны, значит длина стороны равна 16 мм.

а = Р : 3; а = 48 : 3 =16 (мм)

Воспользуемся формулой  S = ¹/₂ х m х n х 𝙨𝙞𝙣 𝜶

S= ¹/₂ х а х а х 𝙨𝙞𝙣 60⁰

S =¹/₂ х 16 х 16 х ^√3/₂ = 64√3 (мм²)

Ответ: 64√3 мм²

Задача 2  

Площадь треугольника КМС равна 32 см². МС – медиана треугольника КМР. Найдите площадь треугольника КМР.

Дано:

S△КМС = 32 см²

МС – медиана треугольника КМР

Найти: S△КМР

Решение:

Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. Значит, чтобы найти площадь треугольника КМР, надо 32 х 2 = 64 (см²)

Ответ: 64 см²

Популярные вопросы и ответы