Площадь трапеции: формулы нахождения S трапеции, примеры решения задач c объяснениями экспертов, тема по геометрии для 8 класса

Площадь трапеции — это не просто математическое понятие, а универсальный инструмент для расчета площади поверхностей в различных областях деятельности.

Что такое площадь трапеции

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны a; b – основания, не параллельные стороны c; d – боковые («ножки»).

h – высота, расстояние между параллельными сторонами (длина перпендикуляра).

Площадью трапеции называют часть плоскости, заключенной внутри данной фигуры. Площадь трапеции можно определить по количеству единичных квадратов, которое в нее помещается.

Например, в трапецию вошло 14 единичных квадратов со стороной 1 см — значит, ее площадь 14 см².

Полезная информация о площади трапеции

Формулы площади трапеции

Площадь трапеции через рисование единичных квадратов не всегда возможно вычислить. В этом случае легче воспользоваться формулами.

Через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину ее высоты.

\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm a+\mathrm b}2\;\;\cdot\;\mathrm h\)

Эта формула чаще всего используется при решении задач.

Через диагонали и угол между ними

Если известны значения диагоналей трапеции и угла между ними, для вычисления площади трапеции можно воспользоваться следующей формулой:

S = 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin α =
= 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin β

Через четыре стороны

Если сторона a больше стороны b (a > b), сторона c больше стороны d (с > d), можно использовать формулу:

\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm a+\mathrm b}2\;\;\cdot\\\cdot\;\sqrt{\mathrm c^2-\;\left(\frac{\mathrm с^2-\mathrm d^2\;+\left(\mathrm a-\mathrm b\right)^2}{2\;\cdot\;(\mathrm a-\mathrm b)}\right)^2}\)

Задачи на нахождение площади трапеции с решением

Применим наши знания на практике.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображена трапеция. Найдите ее площадь. Глядя на трапецию можно заметить, что она непривычной для нас формы. Это трапеция, у которой два противолежащих угла тупые.

Есть два способа решения задачи. Рассмотрим оба. Первый способ: по формуле.

Дано: трапеция

a = 12 единиц
b = 8 единиц
h = 6 единиц

Найти: S

Решение:

\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm a+\mathrm b}2\;\;\cdot\;\mathrm h\)

Подставляем и считаем.

\(\mathrm S\;=\;\frac{12+8}2\;\;\cdot\;6\;=\;10\;\cdot\;6\;\;=\;60\;\mathrm{квадратных}\;\mathrm{единиц}\)

Второй способ

Делим трапецию на части: два треугольника и квадрат.

Треугольники достраиваем до прямоугольника. Считаем количество клеток в каждом и делим пополам.

Получили 6 квадратных единиц и 18 квадратных единиц. Ведем подсчет клеток в квадрате, их 36 квадратных единиц.

Ну а теперь по свойству площадей находим сумму площадей наших частей:

S = 6 + 18 + 36 = 60 кв. ед.

Ответ: 60 квадратных единиц.

Задача 2

Найдите площадь трапеции, если длины диагоналей 12 см и 8 см, а угол между ними 60⁰.

Дано: трапеция

d₁=12 cм
d₂=8 cм
α = 60⁰

Найти: S

Решение: S = 0,5 ∙ d₁ ∙ d₂ ∙ sin α

Подставляем и считаем.

S = 0,5 ∙12 ∙ 8 ∙ sin 60⁰ = ¹/₂ ∙ 12 ∙ 8 ∙ ^√3/₂ = 24√3 см²

Ответ: 24√3 см²

Популярные вопросы и ответы

В чем измеряется площадь трапеции?

Площадь трапеции измеряется в квадратных единицах, то есть в мм², см², дм², м² и так далее.

Для чего в 8 классе нужно уметь вычислять площадь трапеции?

Начиная с начальной школы ребята знакомятся с четырехугольниками: прямоугольником и квадратом, в 8 классе их копилка знаний увеличивается за счет новых умений и навыков (степени, арифметические квадратные корни и так далее), поэтому именно в этом классе появляются в учебниках главы «Четырехугольники» и «Площади четырехугольников».

В итоговых испытаниях ОГЭ и ЕГЭ есть много заданий с трапецией, как с кратким решением, так и с подробным, поэтому и идет знакомство с различными типами задач и их нарешивание с 8 класса.

Для чего в жизни может понадобиться умение находить площадь трапеции?

Трапеция и ее площадь находят широкое применение в жизни. Например, в строительстве часто можно встретить крыши домов, у которых две стороны имеют форму трапеции, — а значит надо рассчитать площадь, чтобы приобрести необходимое количество материала.

У дизайнеров при создании женских сумок и одежды.

В экономике, в сельском хозяйстве и других областях. Ну а в школе — для успешной сдачи экзаменов.

Кто первым нашел площадь трапеции	Площадь трапеции умели находить в Древней Греции Пифагор и Евклид, в Египте при строительстве пирамид применяли формулу. В трудах арабских математиков Аль-Хорезми и Аль-Карафи были предложены методы для ее нахождения, но кто был первым — неизвестно.
Как найти площадь трапеции, если известна длина ее средней линии	Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.m = (a+b) : 2 S = m ∙ h
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников,то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников	Это свойство площадей применимо и к трапеции, так как ее можно разбить на различные многоугольники, например на два треугольника и прямоугольник.