Площадь прямоугольника: формулы нахождения S прямоугольника, примеры решения задач c объяснениями экспертов, тема по математике для 3 класса

Вычисление площади прямоугольника входит в базовую школьную программу. Эти знания пригодятся как на уроках, так и при написании ОГЭ и ЕГЭ и в будущей жизни. В статье мы разберем, как вычислить площадь прямоугольника и какую формулу стоит применять, а для закрепления материала решим пару задач.

Что такое площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника – это число, которое показывает, сколько квадратных единиц находится в фигуре. При названии величины площади необходимо также указывает единицу измерения. Например, если прямоугольник состоит из двадцати квадратов, а каждый из них имеет площадь один квадратный сантиметр, то площадь такого прямоугольника составляет двадцать квадратных сантиметров.

Полезная информация о площади прямоугольника

Вычисление площади прямоугольника – одна из базовых тем школьного курса математики	Без этих знаний вам будет сложно сдать выпускные экзамены, поэтому так важно усвоить тему.
Есть 7 разных формул на вычисление площади прямоугольника	Площадь этой фигуры можно вычислить не только по двум сторонам, но и зная сторону прямоугольника и диагональ, периметр. Поэтому выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.
Площадь прямоугольника измеряется в единицах в квадрате	Если длина и ширина фигуры выражены в сантиметрах, то площадь будет выражена в квадратных сантиметрах. Если длина и ширина измерены в разных единицах, их нужно выразить в одних единицах.

Формулы площади прямоугольника

Всего их семь. Для расчета смотрите, какие величины известны и исходя из этого подбирайте нужную формулу.

Через длину и ширину

Пожалуй, самый простой и известный способ. Просто перемножьте длину и ширину прямоугольника.

$$S=a\cdot b,\;где\;S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\а\;\boldsymbol a\;и\;\boldsymbol b\;–\;стороны.$$

Через сторону и диагональ

Найдите квадраты диагонали и стороны прямоугольника. От длины диагонали отнимите длину стороны, вычлените корень из результата, а затем умножьте на длину стороны.

$$S=a\cdot\sqrt{d^2-a^2},\;\\где\;S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\а\;–\;сторона,\;d\;–\;диагональ.$$

это интересно

Радиус окружности

Простое объяснение, что такое радиус окружности и как его вычислить

подробнее

Через сторону и диаметр описанной окружности

Для начала найдите квадраты диаметра окружности и стороны прямоугольника. От первого значения отнимите второе и найдите корень из результата. Умножьте длину известной стороны на получившееся число.

$$S=a\cdot\sqrt{D^2-a^2},\;\\где\;S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\а\;–\;сторона,\;D\;–\;диаметр\;описанной\;окружности.$$

Через сторону и радиус описанной окружности

Найдите квадрат радиуса и умножьте его на 4. Возведите известную сторону в квадрат. Отнимите от первого числа второе. Затем умножьте результат на длину стороны.

$$S=a\cdot4R^2-a^2,\;\\где\;S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\а\;–\;сторона,\;R\;–\;радиус\;описанной\;окружности.$$

Через сторону и периметр

Умножьте периметр на длину стороны. Умножьте квадрат известной стороны на 2. От первого произведения отнимите второе и разделите результат на 2.

$$S=\frac{P\cdot a-2a^2}2,\;где\;\\S\;–\;площадь\;прямоугольника,\\\;а\;–\;сторона,\;P\;–\;периметр.$$

Через диагональ и угол между диагоналями

Возведите диагональ в квадрат. Разделите результат на 2. Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

$$S=\frac12\cdot d^2\cdot\sin\;\alpha,\;где\;\\S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\d\;–\;диагональ,\;\alpha\;–\;угол\;между\;диагоналями.$$

Через радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Возведите радиус описанной вокруг прямоугольника окружности в квадрат. Умножьте его на 2. Полученное число умножьте на синус угла между диагоналями.

$$S=2R^2\cdot\sin\;\alpha,\;где\;\\S\;–\;площадь\;прямоугольника,\;\\R\;–\;радиус\;описанной\;окружности,\;\\\alpha\;–\;угол\;между\;диагоналями.$$

Задачи на нахождение площади прямоугольника с решением

Выполните несложные задачи ниже, чтобы лучше запомнить изученные формулы.

Задача 1

Одна сторона прямоугольника равна 7 сантиметров, а другая – 11. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

a₁ = 7 см

a₂ = 11 см

Найти: S

Решение: Чтобы найти площадь прямоугольника по двум сторонам, необходимо перемножить их.

7 х 11 = 77 см²

Ответ: Площадь прямоугольника составляет 77 квадратных сантиметров.

Задача 2

Одна сторона прямоугольника равняется 48 сантиметров, а диагональ – 50 сантиметров. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

a = 48 см

d = 50 см

Найти: S

Решение: Чтобы найти площадь прямоугольника по одной из сторон и диагонали, возводим оба числа в квадрат и находим квадратный корень из их разности. А затем полученное число умножаем на известную сторону.

50²– 48² = 2500 – 2304 = 196

√196 = 14

14 х 48 = 672 см²

Ответ: Площадь прямоугольника составляет 672 квадратных сантиметра.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Роман Хадаханэ, преподаватель, популяризатор математики, основатель «Школы Х2 I Математика ОГЭ, ЕГЭ вживую»

В чем измеряется площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника можно измерять любыми квадратами. В России используется метрическая система мер. Это значит, что квадраты будут со стороной 1 метр или 1 километр. В некоторых странах используются дюймы и футы. Значит, площадь прямоугольника там можно измерять квадратными дюймами и футами. Это квадраты со стороной 1 дюйм или 1 фут. Любой из вас может ввести новую единицу измерения площади. Достаточно взять любой квадрат, замостить ими прямоугольник, затем посчитать их. Полученное число и будет выражением площади прямоугольника через вашу новую единицу измерения.

Для чего нужно уметь вычислять площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника – базовый элемент для дальнейшего понимания площадей других фигур. Без этого умения не понять формулу вычисления площади параллелограмма, треугольника, трапеции. В быту формула используется для вычисления необходимого объема строительных, отделочных материалов, лаков и красок. Большую роль формула играет в сельском хозяйстве. Без нее мы бы страдали от голода, всегда бы чего-то не хватало, а чего-то было в избытке.

Почему площадь прямоугольника изучают в 3 классе?

К этому времени у учеников уже сформированы базовые понятия об окружающем мире, они знают, что такое метр, сформированы понятия больше-меньше, право-лево. Но они не могут абстрагироваться. Самое время начать знакомиться с фигурами, аналоги которых они видят вокруг. Прямоугольник – это кирпич современной математики. Подружившись с ним, вы можете пройти долгий путь от простейших геометрических фигур до искусственного интеллекта и квантовых вычислений.