Площадь параллелограмма
Директор магазина задумал поменять вывеску на новую, в форме параллелограмма. Чтобы заказать материал и краску, необходимо знать площадь параллелограмма. Какими формулами можно для этого воспользоваться, рассмотрим ниже
Площадь геометрических фигур — одна из важнейших характеристик, которая позволяет оценить их размеры и свойства. Среди множества фигур, существующих в математике, особое место занимает параллелограмм. Эта фигура имеет необычную форму, которая отличается от привычных кругов и треугольников. Но как вычислить площадь параллелограмма? В этой статье мы расскажем о формуле и о том, как ее использовать для расчета площади этой уникальной геометрической фигуры.
Что такое площадь параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма — часть плоскости, ограниченная данной фигурой.
Полезная информация о площади параллелограмма
| Кто первым применил площадь параллелограмма | Площадь параллелограмма была известна еще в древности. Одним из первых, кто упоминал о площади параллелограмма, был древнегреческий математик Евклид в своей книге «Начала». Он дал определение площади параллелограмма и показал, как ее вычислять. |
| Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников,то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников | Это свойство площадей применимо и к параллелограмму, так как его можно разбить на различные многоугольники, например треугольник и трапецию или два треугольника и прямоугольник. |
| Для вычисления площади параллелограмма можно применить формулу Герона | Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому S = 2√(р х (р-а) х (р-b) х (р-d)), а, b – смежные стороны, d – диагональ, p – полупериметр; p = P : 2; P = a+b+d |
Формулы площади параллелограмма
Задачи на нахождение площади параллелограмма включены в обязательную часть итоговых испытаний как в виде краткого ответа, так и требующие подробного решения с построением чертежа, поэтому далее мы рассмотрим формулы, которые помогают их решить.
Через сторону и высоту
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
$$S\;=\;m\;\cdot h_m\\S\;=\;n\;\cdot h_n$$
Через сторону и синус
Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними.
$$S\;=\;m\;\cdot\;n\;\cdot\;\sin\alpha,\;\\где\;\;\boldsymbol m\;и\;\boldsymbol n\;–\;смежные\;стороны$$
Через диагонали и синус
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.
$$S\;=\;0,5\;\cdot\;d_1\;\cdot\;d_2\;\cdot\;\sin\alpha,\;\;\\где\;\;d_1\;и\;d_2\;\;–\;диагонали\;$$
Задачи на нахождение площади параллелограмма с решением
Рассмотрим несколько задач на нахождение площади параллелограмма, которые помогут вам лучше понять эту тему.
Задача 1
Найдите площадь параллелограмма, если его сторона равна 6 см, а высота, проведенная к ней – 7см.
Дано: параллелограмм,
m = 6 см
hm = 7
Найти: S
Решение: Воспользуемся формулой S = m × hm
Получим S = 6 × 7 = 42 см2
Ответ: 42 см2
Задача 2
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке К. Найдите площадь ABCD, если AK = 4; КD = 12; ∠D=1500
Дано: АВСD – параллелограмм,
СК – биссектриса,
АК = 4,
КD = 12,
∠D=1500
Найти: S
Решение:
- ∠D и ∠А – односторонние, при параллельных прямых DC и АВ и их секущей АD → ∠D + ∠А = 1800 → ∠А = 300 (по свойству параллельных прямых)
- По свойству параллелограмма ∠D =∠В = 1500; ∠А = ∠С = 300 АВ = DC
- По условию задачи СК – биссектриса, значит, ∠DСК = ∠КСВ = 150
- ∠КСВ и ∠DКC – накрест лежащие углы, при параллельных прямых АD и ВС и их секущей СК ∠КСВ = ∠DКC = 150 (по свойству параллельных прямых)
- Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠DСК =∠DКC = 150 → DКC– равнобедренный (по признаку) → КD = DC = 12
- По свойству измерения длин отрезков АD = AK + KD, AD = 16
- Применим формулу S = m × n × 𝙨𝙞𝙣 α , где m; n – смежные стороны:
S = AB × AD × 𝙨𝙞𝙣(∠А)
S= 12 × 16 × 𝙨𝙞𝙣 300 = 12 × 16 × 0,5 = 96
Ответ: 96 кв.единиц.
Задача 3
Существует блок задач на клетчатой бумаге. Например, на рисунке размером клетки 1×1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение: В данной задаче можно идти разными путями.
(1)
(2)
- По формуле S = m × hm
S = 8 × 6 = 48 кв.единиц - Делим параллелограмм на части, получим два равных треугольника (если их соединить, получим прямоугольник) и квадрат.
По свойству площадей получим
36 кв.ед + 12 кв.ед = 48 кв.единиц
Популярные вопросы и ответы
В чем измеряется площадь параллелограмма?
Площадь параллелограмма можно измерить в квадратных единицах: мм2, см2, дм2, м2, км2, м2, арах (100 м2), гектарах (10000 м2) и других.
Для чего в 8 классе нужно уметь вычислять площадь параллелограмма?
Вычисление площади параллелограмма является одним из базовых навыков геометрии, который помогает ученикам лучше понять принципы вычисления площадей различных фигур (ромб, квадрат и прямоугольник являются частными случаями параллелограмма). Также понятие площади используется в дальнейшем изучении математики и других школьных предметах. Таким образом, умение вычислять площадь параллелограмма является важным элементом математической подготовки учеников в 8 классе и в последующей сдаче экзаменов.
Для чего в жизни может понадобиться умение находить площадь параллелограмма?
Умение находить площадь параллелограмма может быть полезным в повседневной жизни при расчете площади комнаты, участка земли или других объектов.
В науке и технике на основе параллелограмма созданы различные шарнирные механизмы, рамы велосипеда и мотоцикла; в строительстве – у дизайнеров, паркетчиков, плиточников и в других областях.
В науке и технике на основе параллелограмма созданы различные шарнирные механизмы, рамы велосипеда и мотоцикла; в строительстве – у дизайнеров, паркетчиков, плиточников и в других областях.
