Площадь круга
Что такое площадь круга, в чем она измеряется и зачем школьнику учиться ее вычислять — разбираем тему площади круга с экспертом
Как известно, круг — это замкнутая фигура на плоскости, а значит, любой круг занимает какую-то площадь. Научимся вычислять площадь круга через радиус ограничивающей окружности, ее диаметр и длину. А также узнаем у эксперта, зачем в жизни может пригодиться умение высчитывать площадь круга.
Что такое площадь круга
Площадь круга — величина, определяющая размеры плоскости, ограниченной какой-либо окружностью. Другими словами, вычислив площадь, мы можем сказать, сколько места на плоскости занимает рассматриваемый круг. Например, с помощью формулы площади круга легко можно вычислить площадь круглого участка земли или площадь поверхности круглого озера.
Полезная информация о площади круга
| Площадь круга может быть измерена любыми величинами, обозначающими размеры на плоскости | Квадратные сантиметры, квадратные метры, сотки, гектары, акры и другие. |
| С античности известна неразрешимая задача построения «квадратуры круга» | То есть задача построения с помощью только циркуля и линейки квадрата, площадь которого точно совпадает с площадью круга. |
| Выражение «квадратура круга» стало метафорой | Оно обозначает бессмысленное и безнадежное дело или предприятие. |
Формулы площади круга
Существует множество формул, с помощью которых можно вычислить площадь круга, рассмотрим наиболее часто используемые.
Через радиус
Самый простой метод вычисления площади круга — с использованием радиуса окружности.
Пусть радиус окружности — R, тогда площадь круга
\(S\;=\;\operatorname{𝞹}R^2\)
где 𝞹 — математическая постоянная. Принято использовать приближенное значение 𝞹 = 3,14, но при необходимости можно принять значение 𝞹 = 3 или наоборот использовать более точное, вплоть до необходимого знака после запятой.
Через диаметр
Вычисление площади круга через диаметр ограничивающей окружности практически аналогично вычислению через радиус в связи с тем, что радиус R равен половине диаметра D : R = D/2.
Проведя простые вычисления, получим формулу:
\(S\;=\;\operatorname{𝞹}\cdot\;\left(\frac D2\right)^2=\;\operatorname{𝞹}\cdot\;\frac{D^2}4\\\)
\(S\;=\;\frac{\mathbf\pi}{\mathbf4}\cdot D^2,\)
где 𝞹 — математическая постоянная и 𝞹 = 3,14.
Через длину
Еще один часто используемый способ вычисления площади круга — через длину ограничивающей окружности.
Используем стандартное обозначение длины окружности — C, вычислим формулу площади S, зная отношение площади к радиусу R и радиуса к длине окружности C : R = C/2𝞹 и S = 𝞹R2, таким образом получим:
\(S\;=\;\mathbf\pi\boldsymbol\;\boldsymbol\cdot\boldsymbol\;\mathbf{\left(\frac{\mathrm C}{\mathrm2\pi}\right)}^{\mathbf2}\boldsymbol\;=\;\frac{\mathbf\pi\mathrm C^2}{4\mathbf\pi^2}\;\\\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm C^2}{4\mathbf\pi^{}},\)
где 𝞹 — математическая постоянная и 𝞹 = 3,14.
Другие способы вычисления площади круга
Немного о том, как еще можно вычислить площадь круга.
Построение прямоугольника, равного кругу по площади, методом Леонардо да Винчи
Для вычисления площади круга, ограниченного окружностью радиуса R, необходимо изготовить цилиндр с радиусом основания R и высотой R/2. Если смазать боковую сторону краской и один раз прокатить цилиндр по плоскости, отпечатавшийся прямоугольник будет равен кругу по площади.
После этого можно либо вычислить площадь полученного прямоугольника, проведя измерение его сторон, либо решить задачу нахождения «квадратуры круга» путем построения квадрата, равного прямоугольнику по площади.
Приближение площади круга с помощью прямоугольников
Для применения этого метода впишем в рассматриваемый круг квадрат, то есть начертим такой квадрат, углы которого будут лежать на окружности.
Если продолжить добавлять прямоугольники в оставшуюся незанятой часть круга, то таким образом можно сколь угодно близко подойти к полному заполнению окружности, как это наглядно показано на рисунке.
Площадь вписанной фигуры легко вычислить, посчитав сумму площадей квадрата и использованных прямоугольников, обозначим это значение S1. Площадь круга будет точно больше полученного значения.
Таким же образом поступим с приближением площади круга «сверху»: опишем квадрат вокруг круга, то есть начертим такой квадрат, каждая сторона которого будет касаться окружности в одной точке. В нашем случае касание будет происходить в серединах сторон квадрата, а длина каждой стороны будет равна диаметру окружности.
После этого начнем добавлять прямоугольники в часть квадрата, не занятую кругом, добавив такое количество, какое захочется. Чем больше будет прямоугольников, тем ближе итоговое значение будет к фактической площади круга.
Для вычисления площади полученной фигуры вычтем из площади квадрата площади прямоугольников, обозначим это значение S2. Площадь круга будет точно меньше полученного значения.
Площадь круга будет удовлетворять неравенству S1 < S < S2, где S — площадь круга, а S1 и S2 — площади построенных нами фигур.
Задачи на нахождение площади круга с решением
Для закрепления знаний решим несколько задач на нахождение площади круга с использованием рассмотренных формул.
Во всех задачах примем значение 𝞹 = 3,14.
Задача 1
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью радиуса R = 7 см.
Дано:
R = 7 см
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади круга через радиус
S = 𝞹R2
S = 𝞹 * 72 = 𝞹 * 49 = 3,14 * 49 = 153,86 см2
Ответ: площадь круга равна 153,86 см2
Задача 2
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью диаметра D = 6 м.
Дано:
D = 6 м
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади через диаметр
\(S\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;D^2\\\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cdot\;6^2\;=\;\frac{3,14}4\;\cdot\;36\;=\;3,14\;\cdot\;9\;=\;28,26\;\mathrm м^2\)
Ответ: площадь круга равна 28,26 м2
Задача 3
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью длины 8 дм.
Дано:
C = 8 дм
Найти: S
Решение: используем формулу вычисления площади через длину окружности
\(\mathrm S\;=\;\frac{\mathrm C^2}{4\mathrm\pi}\\\mathrm S\;=\;\frac{8^2}{4\mathrm\pi}\;=\;\;\frac{8\cdot8}{4\cdot3,14}\;=\;\frac{16}{3,14}\;\approx\;5,1\;\mathrm{дм}^2\)
Ответ: площадь круга равна 5,1 дм2
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике
В чем измеряется площадь круга?
Площадь круга, как и любая другая площадь, измеряется в квадратных метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. А также, если речь идет про участки земли, например, площадь может измеряться в гектарах или сотках. Единица измерения площади в английской системе мер, используемая преимущественно в США и некоторых других странах, — это квадратный фут.
Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять площадь круга?
Наряду с площадями других фигур в школе учат находить и площадь круга. Геометрию в школах России начинают серьезно изучать только в 7 классе, поэтому, прямо скажем, в 6 классе нахождение площади круга происходит довольно формально: нужно уметь подставить в формулу известное значение радиуса и посчитать.
Для чего в жизни может понадобиться умение находить площадь круга?
В век цифровых технологий способности к вычислению и нахождению величин по формулам становятся все менее необходимыми: практически в любой момент жизни можно зайти в интернет, найти необходимый калькулятор и узнать ответ, не прибегая непосредственно к вычислениям. Однако мы можем предположить ситуацию, когда интернет окажется по какой-то причине недоступным, и тогда умение находить площадь круга станет вполне используемым в жизни. Например, работнику цирка, чтобы узнать, сколько опилок потребуется для посыпания круглой арены определенного диаметра, или создателю декораций для определения количества ткани, необходимого для выкраивания большого круга (солнца, паруса или чего бы то ни было еще).
