Первообразная
В старших классах школы изучают одно из важнейших понятий, которое лежит в основе всего математического анализа, – первообразную. Давайте разберемся, что это такое, и научимся ее вычислять
Мечтаете создавать роботов, заниматься анализом больших данных или работать над искусственным интеллектом? Тогда внимательно отнеситесь к первообразной, потому что без нее в этих направлениях далеко не уедешь. Глядя на последние разработки, очевидно, что одним сложением и вычитанием в жизни не обойтись. Первообразные применяются для расчета площадей и объема. С их помощью рассчитываются тарифные ставки в страховании, проводятся исследования спроса и предложения на рынке. Они применяются в физике, медицине и даже биологии. Первообразная настолько «всемогуща», что может влиять на ваше поступление в вуз. Конечно, речь о ЕГЭ по математике, где есть задание на знание этой темы. Разговоры в сторону – давайте знакомимся с первообразной.
Что такое первообразная в алгебре
Отвлечемся на несколько минут от алгебры и подумаем, какие ассоциации вызывает слово «первообразный». Наверняка представилось что-то исходное, первое, как пряжа, из которой связан свитер, или тесто, ставшее кексом.
В математике понятие первообразной тесно связно с производными.
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна самой функции f(x):
F'(x)=f(x)
Восстановление первообразной по производной функции называется интегрированием.
Если клубок шерстяных ниток – это первообразная, а производная – свитер, то распустив, «проинтегрировав» свитер, получим снова нитки. Так получится не со всеми примерами из жизни. Фарш из котлет восстановить не получится. Но вернемся к алгебре и познакомимся с интересными фактами и свойствами первообразной.
Полезная информация о первообразной
| Множество первообразных функции – это неопределенный интеграл | Если F (x) – первообразная f(x), то множество функций F (x) + C, где C – постоянная – неопределенный интеграл ∫ f(x)dx = F (x) + C |
| Интегрирование применяли еще в античности | О том, что основы интегрирования применялись в древности, говорит метод исчерпывания Евдокса в 4 в. до н.э. Но вместо интеграла использовалось понятие квадратуры |
| Теория интегрирования сформулирована в 17 веке | Ньютон и Лейбниц сформировали понятие интеграла и представили законченную математическую теорию. На тот момент она была еще «сырой» и окончательно сформировалась только в 19-20 в. |
Основное свойство первообразных
Прежде чем говорить о свойствах, немного разомнемся и найдем первообразную для производной f (x) = 3x2. Вспомним таблицу производных:
(xn) = nxn-1 и применим к нашей задаче (x3) = 3x2
F (x) = x3
Однако производная от константы C = 0, тогда
(x3 + 2) = 3x2
(x3 + 6) = 3x2
(x3 + C) = 3x2
Получается, что для одной производной может быть много первообразных, отличающихся друг от друга на константу. Решая задачу, мы подошли к основному свойству первообразных:
Если функция F(x) — первообразная функции f(x) на заданном промежутке, то, при любой постоянной С=const, функция F(x)+С также является первообразной функции f(x) на этом промежутке
Геометрически свойство первообразных означает, что графики первообразных функции f (x) получаются из графика одной первообразной, путем параллельного переноса вдоль оси y.
Для нахождения первообразных существует таблица с основными функциями, которую следует выучить. Ниже вы найдете расширенный вариант таблицы на все случаи жизни.
Таблица первообразных для различных функции
Правила нахождения первообразных
Функции, описывающие реальные процессы, зачастую бывают сложными, состоящими из нескольких слагаемых и коэффициентов. Чтобы привести их к простому виду и вычислить первообразные существует три правила.
1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Если F (x) – первообразная f (x), а G (x) – первообразная g (x), то
(F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x) =f(x)+g(x)
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
(kF(x))’=kF'(x)=kf(x), где k – константа.
3. Если F (x) – первообразная f (x), а k и b – константы, где k ≠ 0, то 1/k*F(kx + b) – первообразная для f(kx + b)
\(\left(\frac1kF(kx+b)\right)’=f(kx+b)\)
это интересно
Связь между графиками функции и ее первообразной
Давайте вспомним что, производная от первообразной и есть эта функция:
F (x) = f (x).
Значит, f (x) имеет отрицательные значения там же, где и F (x).
Участки, где F (x) возрастает, f (x) > 0,
там, где F (x) убывает, f (x) < 0.
В точке экстремума, при изменении направления F (x), f (x) = 0.
Для наглядности построим график функции f (x) = sin(x) и ее первообразную
F (x) = -cos(x).
График наглядно показывает, что:
на интервале (-; 0) F (x) убывает, f (x) < 0;
на интервале 0; F (x) возрастает, f (x) > 0;
В точке экстремума (0;) f (x) = 0.
Задачи на тему «Первообразная»
Давайте закрепим полученные знания и потренируемся находить первообразную на практике.
Задача 1
Найдите первообразную для функции:
\(1.\;f\;(x)\;=\;x^3\;+\;5x^4\;\\2.\;f\;(x)\;=\;\frac1{\sqrt x}-\frac1{x^2\;}\)
Задача 2
Найдите первообразную функции, проходящую через точку D = (x0; y0)
f (x) = 1/cos2(x); F = (π/4; — 1)
Задача 3
Пользуясь графиком функции первообразной y = F(x), определите:
- Количество решений на отрезке (-4;3), для которых f (x) = 0.
- Среди отмеченных на оси x точек x1, x2, x3, x4, x5 выберите те, в которых f(x) положительна.
Ответы к задачам
Давайте пошагово решим каждую задачу.
Задача 1
\(1.\;\;F(x)=\frac{x^{3+1}}{3+1}+\frac{5x^{4+1}}{4+1}+C;\;\;\\F(x)=\frac{x^4}4+x^5+C\\\\2.\;\;\frac1{\sqrt x}=\left(\sqrt x\right)^{-1}=\left(x\frac12\right)^{-1}=x^{-\frac12};\\\\\\\frac1{x^2}=x^{-2}\\\\\\f(x)=x^{-\frac12}-x^{-2};\\\\\\F(x)=\frac{x^{-\;\frac12+1}}{-{\displaystyle\frac12}+1}-\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\\=\frac{x^\frac12}{\displaystyle\frac12}+x^{-1}+C=2\sqrt x+\frac1x+C\\\)
Задача 2
(tg(x)) = 1/cos2(x);
F (x) = tg(x) + C
Координаты точки D = (π/4; — 1) должны удовлетворять уравнению
— 1 = tg(π/4) + C
— 1 = 1 + C
C = — 2
F(x) = tg(x) — 2
Задача 3
1. f (x) = 0 в точках экстремума F (x). Таких точек на участке (-4;3) пять, они отмечены на рисунке красным цветом.
2. f (x) 0 на участках возрастания F(x). Этому условию отвечают точки x3 и x5.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Игорь Смирнов, репетитор по математике, физике, ОГЭ и ЕГЭ, кандидат технических наук:
Почему первообразную изучают в 11 классе?
Интеграл – довольно сложная для понимания тема, даже многие студенты вузов не могут понять ее. Умение решать задачи, основанные на вычислении интегралов, требует знания многих других разделов математики. Именно поэтому изучение данной темы начинается в старших классах школы – в 11 классе.
Чем отличаются две первообразные для одной и той же функции?
Множество всех первообразных функции задается формулой F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Следовательно, любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга только константой.
В каком задании ЕГЭ по математике может понадобиться знание первообразной?
Знание первообразной функции понадобится для выполнения задания №8 ЕГЭ по математике, в котором проверяется умение выпускника исследовать первообразную на монотонность и экстремум или сравнить значение первообразных
