Основное тригонометрическое тождество: формула, нахождение через нее синуса и косинуса, примеры решения задач с ответами по геометрии для 8, 9, 10 классов

Во время учебы в школе задачи с синусами, косинусами, тангенсами котангенсами встречаются едва ли не на каждом шагу. При этом они считаются сложными. Однако решать их можно буквально в два счета, если знать основное тригонометрическое тождество. Вместе с репетитором по математике разбираемся, что оно из себя представляет.

Что такое основное тригонометрическое тождество в геометрии

Основное тригонометрическое тождество – это связь синуса, косинуса, тангенса и котангенса одного угла, выраженная в формулах. Оно помогает найти одно из значений, если известно другое.

Полезная информация об основном тригонометрическом тождестве

Одно из главных	С помощью основного тригонометрического тождества решается большинство задач по геометрии
Простое в использовании	Основное тригонометрическое тождество легко применять: подставляем нужные значения и производим простейшие вычисления
Легко запомнить	Основное тригонометрическое тождество состоит всего из нескольких формул. Причем если первую нужно запомнить, то остальные вытекают из нее
Пригодится на экзамене	Многие задачи в ОГЭ и ЕГЭ можно решить с помощью основного тригонометрического тождества

Формула основного тригонометрического тождества

Основное тригонометрическое тождество можно смело назвать следствием из теоремы Пифагора. Поэтому «главными» значениями будут только синус и косинус. Все остальное – лишь вытекающее из того, как они относятся друг к другу. Просто запомните, что сумма квадратов синуса и косинуса всегда равняется единице. Формула выглядит так:

sin²a+cos²a=1

Нахождение синуса через основное тригонометрическое тождество

При помощи основного тригонометрического тождества можно легко найти значение синуса. Достаточно знать, чему равен косинус. В таком случае нужно составить простое уравнение:

х + cos²a = 1

Дальше можно идти по стандартному пути. Переносим косинус (который будет числом) в правую часть уравнения и вычитаем из единицы. Полученный результат – и есть синус. Формула выглядит так:

sin²a = 1 – cos²a

Нахождение косинуса через основное тригонометрическое тождество

Похожим образом можно найти косинус. При этом уравнение будет таким же простым. Нужно просто поменять местами значения синуса и косинуса. Формула выглядит так:

cos²a = 1 – sin²a

это интересно

Теорема о трех перпендикулярах

Доказательство и формулировка теоремы о трех перпендикулярах

Подробнее

Другие важные для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ тригонометрические тождества

В основном тригонометрическом тождестве используются только синус и косинус. Однако в задачах ОГЭ и ЕГЭ нередко требуется найти их соотношения – тангенс и котангенс.

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще со средней школы известно, что тангенс – это отношение синуса к косинусу, а котангенс – косинуса к синусу. Но для решения более сложных задач нужно запомнить еще одно правило. Произведение тангенса и котангенса всегда равно единице.

Формула очень простая:

tg×ctg = 1

Следствия из основного тригонометрического тождества

Задачи в ОГЭ и ЕГЭ покажутся куда более простыми, если знать несколько следствий из основного тригонометрического тождества. Например, стоит запомнить, что сумма квадрата тангенса и единицы всегда равна единице, деленной на квадрат косинуса.

Формула выглядит следующим образом:

tg²a+1 = 1/cos²a

Исходя из этого уравнения, можно найти одно значение, если известно второе. Например, если нужен тангенс, то следует перенести единицу в правую сторону. Получится следующее:

tg²a = 1/cos²a – 1

Из полученного результата останется только извлечь корень.

Похожая ситуация с косинусом. При известном тангенсе его можно найти по формуле:

cos²a = 1/tg²a + 1

Аналогичное правило есть с котангенсом. Сумма его квадрата и единицы всегда равна единице, деленной на квадрат синуса:

ctg²a + 1 = 1/sin²a

Используется эта формула так же, как предыдущая. Меняются только значения: тангенс на котангенс, а косинус – на синус.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Юлиана Журавлёва, репетитор по математике, специалист по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ:

Как подготовиться к самостоятельной работе тему «Основное тригонометрическое тождество»?

Важно понимать, что эта тема живет не в «вакууме» и все что связано с тригонометрией начинается с синусов и косинусов. Поэтому в первую очередь стоит осмыслить эти понятия.

Иногда основными тригонометрическими тождествами называют целую группу формул, но всех их объединяет одна мысль: если я знаю одну функцию, то с ее помощью могу найти другую. И чтобы успешно сдать самостоятельную, достаточно знать теорему Пифагора, определение тригонометрических функций и сами основные тригонометрические тождества.

Для 10-11 класса еще добавляется необходимость уметь определять знак функции.

Почему основное тригонометрическое тождество изучают в 8-10 классах?

Чтобы подвести ученика к понятию синуса и косинуса, необходимо рассказать, что такое угол, что из себя представляют треугольники, да и прочие фигуры. Собственно, это и есть темы 7 класса. Когда нас просто знакомят с законами, по которым «живут» фигуры. Те самые знакомые многим аксиомы геометрии.

В каких заданиях ЕГЭ и ОГЭ понадобится умение применять основное тригонометрическое тождество?

Если коротко, то почти во всех. Гипотетически, тригонометрия может встретиться в заданиях №1, 2, 3 — это задачи по геометрии. Далее задание №9 — так называемые задачи с прикладным содержанием. Задание №11 — это график функции, и может, конечно, встретиться функция тригонометрическая. Задание №12 — это исследование функции и, опять-таки, там может быть синус или косинус.

Есть задачи, в которых тригонометрия встретится точно. Это задание №7 — преобразование выражений и задание №13 из второй части — решение уравнений. Своего рода уже стало традицией, что в этих задачах обязательно будет тригонометрия. Еще в заданиях №14 и №17 второй части обойтись без тригонометрии вряд ли получится. Это геометрические задачи, причем повышенной сложности.

Фактически же тригонометрия встречается в задаче про треугольники, часто прямоугольные. Это либо нахождение сторон, либо вычисление площади. Это номера №15 и №17 первой части, совсем редко в задачах №23 и №25 второй части.