Округление чисел

На ценниках в магазинах достаточно часто указывают стоимость с точностью до копейки, например 199 рублей 99 копеек или 999 рублей 98 копеек. Но в разговорной речи мы редко употребляем такие значения: обычно мы говорим просто «200 рублей» или «тысяча». Почему указанные цены мы округлили, да еще и в большую сторону? Потому что короткими числами в речи оперировать проще и удобнее, а 99 и 98 копеек достаточно близки к целому рублю.

Но как быть с долями в 49 сотых, 505 тысячных и прочими, которые практически одинаково удалены как от большего числа, так и от меньшего? В математике определены четкие правила округления чисел. Познакомимся с ними и узнаем, что такое погрешность при округлении.

Что такое округление чисел в математике

Округлением в математике называется замена числа на его приближенное, менее точное значение. Целые числа, например, можно округлять до определенного разряда: до единиц, десятков, сотен и так далее. Десятичные дроби округляются до нужного количества знаков после запятой.

Округлять можно в большую сторону, или «вверх» (заменяя исходное число на большее), или в меньшую, «вниз» (соответственно, заменяя на меньшее).

Один из ярких примеров округления – это использование приближенного значения числа пи. Из-за того что оно является иррациональным, то есть имеет бесконечное число знаков после запятой, использовать его в вычислениях сложно. Поэтому в школе пи обычно принимают равным 3,14, а во время экзаменов и вовсе округляют до 3.

Полезная информация об округлении чисел в математике

Собрали основную информацию о правилах округления чисел в удобную таблицу.

Общие правила округления чисел

Математика – точная наука, потому правила округления в ней действуют одинаково для всех чисел. 

Для верного округления необходимо посмотреть на цифру, стоящую сразу после целевого разряда: того, до которого нужно округлить. В зависимости от того, какая это цифра, число округляется в большую или меньшую сторону:

• 0, 1, 2, 3, 4 – округляем в меньшую сторону
• 5, 6, 7, 8, 9 – округляем в большую сторону

При этом нам неважно, какие цифры стоят правее. Например, и 1,78997474, и 1,7 в случае округления до целого превратятся в 2.

Если число необходимо округлить в большую сторону, цифру в целевом разряде увеличиваем на единицу, если в меньшую – оставляем неизменной. Все младшие разряды в обоих случаях просто отбрасываем.

Далее разберем примеры округления одних и тех же чисел до разных разрядов и посмотрим, как они будут изменяться в зависимости от поставленных задач.

Округление числа до целого

Округлением до целого называется избавление десятичной дроби от дробной части, то есть от всех знаков после запятой. 

Представить округление до целых можно как выбор направления: к какому числу «ближе», к тому и будем округлять. А точно от «середины» (от цифры 5 в разряде десятых долей) всегда двигаемся вперед, то есть в большую сторону.

В случае, если нам нужно округлить до десятков, сотен или любого старшего разряда, на месте «отброшенных» цифр нужно поставить нули: 12 ≈ 10; 876 ≈ 900.

Примеры

Попробуем округлить числа до целого.

0,78456 

В этом числе в разряде десятых стоит цифра 7, а значит, единицы целой части нужно увеличить на один, а запятую и все знаки после нее – убрать. Получим: 0,78456 ≈ 1

876,4561356

В разряде десятых – цифра 4, округлять нужно в меньшую сторону. Цифру единиц оставляем неизменной, младшие разряды отбрасываем.

876,4561356 ≈ 876

это интересно

Проценты в математике

Как получить проценты от числа и определить в процентах разницу между двумя числами

Подробнее

Округление числа до тысячных

По аналогии с предыдущим пунктом можно проводить округления до любого необходимого разряда. Например, до тысячных долей, это три знака после запятой. Для правильного выполнения действия смотреть нужно, соответственно, на четвертый знак после запятой (число десятитысячных).

Примеры

Округлим до тысячных уже рассмотренные нами выше числа.

0,78456 

Четвертая цифра после запятой – 5. Как мы помним, в этом случае число округляется в большую сторону, а цифру в целевом разряде нужно увеличить.

0,78456 ≈ 0,785

876,4561356

Здесь в десятитысячных видим единицу, значит округляем «вниз». Переписываем число вплоть до нужного разряда, остальное – отбросим.

876,4561356 ≈ 876,456

Округление числа до сотых

Округление до сотых может пригодиться, например, при расчете стоимости товара с точностью до копеек, которые являются сотыми долями рубля. В данном случае смотрим на третий знак после запятой и округляем в большую или меньшую сторону, заменяя или оставляя прежним число сотых.

Примеры

Чтобы не запутаться, будем работать все с теми же числами.

0,78456 

На третьем месте справа от запятой видим четверку – округляем в меньшую сторону, цифра 8 в разряде сотых остается неизменной.

0,78456 ≈ 0,78

876,4561356

Шесть тысячных в данном случае – причина округлить число в большую сторону, увеличив цифру в разряде сотых:

876,4561356 ≈ 876,46

Округление числа до десятых

Округление до десятых проводим по тем же принципам, что и для любого другого разряда. Теперь обращаем внимание на вторую цифру после запятой и меняем первую в случае округления «вверх».

Примеры

Посмотрим, как числа изменятся при округлении до десятых.

0,78456 

Второй знак после запятой (число сотых долей) – 8. Округляем в большую сторону, увеличиваем число десятых на единицу.

0,78456 ≈ 0,8

876,4561356

Снова мы столкнулись с пятеркой в младшем разряде, а значит, проводим округление вверх. Число десятых увеличиваем, остальное – отбрасываем. 

876,4561356 ≈ 876,5

Задачи по теме «Округление чисел»

Представим несколько ситуаций, в которых может потребоваться умение округлять числа, и решим подходящие задачи.

Задача 1

В магазине «Фрукты» продаются яблоки, груши, апельсины, бананы и грейпфруты. Посчитайте стоимость одного фрукта каждого вида и округлите ее до копеек, учитывая вес и цену, указанные в таблице.

Задача 2

Продавцу Веронике дано задание поменять ценники на товарах в магазине для проведения акции «Скидки на все 33%». Пересчитайте цены с учетом скидки в процентах и округлите их до десятых:

1. Игрушка – 518 рублей.
2. Кружка – 154 рубля.
3. Книга с картинками – 433 рубля.
4. Мыльные пузыри – 87 рублей.
5. Блокнот – 16 рублей.

Задача 3

Глава родительского комитета 3 «А» класса планирует собрать деньги на новогодние подарки для детей. Ниже указан состав подарка и стоимость конфет:

• 0,3 кг шоколадных конфет – 725 рублей за 1 килограмм;
• 0,15 кг карамели – 318 рублей за 1 килограмм;
• 0,2 кг ириса – 347 рублей за 1 килограмм;
• 0,15 кг мармелада – 473 рубля за 1 килограмм.

Подсчитайте итоговую стоимость каждого подарка и округлите ее до целых.

Ответы к задачам

Решим задачи, используя знания об округлении чисел.

Задача 1

Используя таблицу, посчитаем точную стоимость каждого фрукта. Для этого поделим цену за килограмм на тысячу, получив стоимость одного грамма фрукта в рублях, и умножим на вес в граммах.

1. 253 : 1000 × 271 = 68,563
2. 377 : 1000 × 152 = 57,304
3. 304 : 1000 × 318 = 96,672
4. 138 : 1000 × 149 = 20,562
5. 511 : 1000 × 456 = 233,016

Теперь округлим получившуюся стоимость до сотых, так как копейка – это сотая доля рубля.

1. 68,563 ≈ 68,56 – стоимость одного яблока
2. 57,304 ≈ 57,30 – стоимость одной груши
3. 96,672 ≈ 96,67 – стоимость одного апельсина
4. 20,562 ≈ 20,56 – стоимость одного банана
5. 233,016 ≈ 233,02 – стоимость одного грейпфрута

Задача 2

Итак. Скидка в 33% означает, что от цены товара нужно отнять 33%, то есть оставить от нее лишь 67%.

Для подсчета цены с учетом скидки необходимо умножить исходную цену на 0,67 и сразу округлить до десятых:

1. 518 × 0,67 = 347,06 ≈ 347,1
2. 154 × 0,67 = 103,18 ≈ 103,2
3. 433 × 0,67 = 290,11 ≈ 290,1
4. 87 × 0,67 = 58,29 ≈ 58,3
5. 16 × 0,67 = 10,72 ≈ 10,7

Задача 3

Посчитаем стоимость подарка, перемножив цену за килограмм сладостей и их вес. Сразу же будем складывать полученные значения.

725 × 0,3 + 318 × 0,15 + 347 × 0,2 + 473 × 0,15 = 330,55 ≈ 331

Ответ: стоимость одного подарка с округлением до целых – 331 рубль.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике: