Одночлены

Математика – это язык, на котором говорят числа, переменные и действия между ними. Одной из важных тем в алгебре являются одночлены. Они кажутся простыми, но именно с них начинается понимание более сложных выражений, таких как многочлены, уравнения и функции. В этой статье мы разберем, что такое одночлены, как их упрощать и как выполнять с ними основные действия. Вы узнаете, почему одночлены так важны и как они применяются в решении задач.

Что такое одночлены в алгебре

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степень с натуральным показателем.

Не стоит пугаться определения, давайте посмотрим на примерах, что это такое:

• 3ab
• 12x²
• ⅘ mn⁴
• 11
• -x
• -7cdcc

Мы видим, что каждый одночлен может состоять из чисел, букв и степеней, а между ними знак умножения, который мы не ставим для облегчения записи.  

Полезная информация об одночленах

Чтобы легко ориентироваться в одночленах, сохраните эту таблицу. Она станет вашей шпаргалкой – с ней вы сразу определите, является ли выражение одночленом.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена – это числовой множитель, который стоит перед всеми переменными. При этом произведение переменных с их степенями называется буквенной частью.

Так, например, в одночлене 6b²c, числовым коэффициентом является 6, а буквенной частью b²c.

Если коэффициент не указан явно, он считается равным 1: у одночлена ad⁷ коэффициент равен 1.

У одночлена 3k² × 7bs коэффициент равен не 3, а 21. Чтобы понять, почему именно такое значение, давайте разберем действие приведения одночлена к стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, при котором одночлен не содержит повторяющихся переменных, не содержит скобок и не имеет в своей записи более одного числового коэффициента.

Чтобы вам было легче разобраться с тем, как приводить одночлен к стандартному виду, мы записали простое правило. Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно:

1. раскрыть все имеющиеся скобки;
2. перемножить или разделить (если возможно) все числовые коэффициенты;
3. записать все повторяющиеся буквы в виде степени.

Примеры

Обратите внимание на примеры одночленов нестандартного вида:

• 3aab
• 5(at)²f
• 5t×6s

Первый одночлен здесь имеет повторяющуюся букву a, второй – скобки, а третий имеет в своей записи два числа: шестерку и пятерку.

Однако привести их к стандартному виду несложно.

1. Смотрим на 3aab. Если расписать его подробнее, то 3aab = 3×a×a×b, но a × a = a². Тогда наш одночлен запишется как 3a²b.
2. Возьмем теперь 5(at)²f. Раскрываем скобки, используя свойства степеней, (at)² = a²t². Поэтому переписываем наш одночлен как 5a²t²f.
3. И разберемся с 5t × 6s. Действуем, как в первом случае: 5t × 6s = 5 × t × 6 × s. Умножив пять на шесть, получим 30×t×s = 30ts.

Подобные одночлены

Чтобы выполнять различные действия над одночленами, необходимо не только уметь их приводить к стандартному виду, но и знать, что такое подобные одночлены. 

Одночлены называются подобными, если они имеют в своей записи одни и те же переменные, возведенные в одинаковые степени. 

Примеры

Давайте посмотрим несколько пар подобных одночленов:

• 4adc и 12dac
• -x и x
• 8a³d и a³d
• d⁴f²g⁶ и -5fd⁴g⁶f

Чтобы быстро и правильно определять, являются ли одночлены подобными, перед этим рекомендуется привести их к стандартному виду, расставляя переменные в буквенной части в алфавитном порядке. 

Сложение и вычитание одночленов

Теперь, когда мы знаем об одночленах, мы можем совершать действия между ними. Начнем со сложения и вычитания одночленов. 

Операцию сложения или вычитания можно проводить только между подобными одночленами, складывая или вычитая числовые коэффициенты, оставляя буквенную часть неизменной.  

Примеры

Рассмотрим примеры сложения и вычитания одночленов:

• 6a²b + 2a²b = 8a²b
• 10xy — 3xy = 7xy
• 4x² + 5y – нельзя упростить, так как одночлены не подобны

Рассмотрим еще один пример, но уже с большим количеством слагаемых:

5a³d² + 15d³a² — 3d²a³ — 2a²d³

Немного преобразуем наше выражение, чтобы было удобнее найти подобные слагаемые:

5a³d² + 15a²d³ — 3a³d² — 2a²d³

Теперь мы видим подобные одночлены: первый с третьим и второй с четвертым.

Тогда получаем: 5 — 3a³d² + 15-2a²d³ = 2a³d² + 13a²d^3.

это интересно

Линейные уравнения

Почему уравнения определенного вида назвали линейными и чем они отличаются от остальных

Подробнее

Умножение одночленов

Умножить два одночлена несложно. Для этого существует простое и понятное правило, которое полностью совпадает с правилом приведения одночлена к стандартному виду.

Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно:

1. привести одночлены к стандартному виду;
2. перемножить или разделить (если возможно) все числовые коэффициенты;
3. умножить переменные между собой, то есть записать все повторяющиеся буквы в виде степени.

В умножении переменных важно не забывать о свойствах степеней, используя их правильно.

Примеры

Давайте разберем правило умножения одночленов на примере.

Перемножим между собой одночлены: 9a²bd, 0,2cbc² и 15aa²cd⁴

9a²bd × 0,2cbc² × 15aa²cd⁴ = 9a²bd × 0,2bc³ × 15a³cd⁴ = (9 × 0,2 × 15) × (a² × a³) × (b × b) × (c³ × c) × (d × d⁴) = 27a⁵b²c⁴d⁵

Деление одночленов

Деление одночленов по своему принципу похоже на умножение одночленов.

Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно:

1. отдельно поделить числовые коэффициенты;
2. отдельно поделить буквенные части;
3. записать ответ.

Примеры

Рассмотрим правило деление одночленов на примерах:

1. 15a⁴b³c² : 3a²bc = (15 : 3) × (a⁴ : a²) × (b³ : b) × (c² : c) = 5a²b²c
2. 16xy³z : 9xz = 16 : 9 × x : x × y³ × z : z = 16 : 9 y³

Обратите внимание, что знак деления и черта дроби могут взаимозаменять друг друга.

Возведение одночленов в степень

При возведении одночлена в натуральную степень также нет ничего сложного. Главное помнить одно из свойств степени, а именно (ab)ⁿ=aⁿbⁿ – степень произведения равна произведению степеней.

Также может пригодиться еще одно свойство: (a^m)ⁿ = a^mn – при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

Примеры

Это правило станет понятнее на примере. 

Возведем одночлен 7d²k⁵xy в степень 3:

1. Сначала выпишем то, как будет выглядеть само выражение: (7d²k⁵xy)³
2. Теперь воспользуемся правилом, которое мы только что упоминали, тогда (7d²k⁵xy)³ = (7)³(d²)³(k⁵)³(x)³(y)³
3. И теперь осталось раскрыть скобки, возводя каждый множитель в степень: (7)³(d²)³(k⁵)³(x)³(y)³ = 343d⁶k¹⁵x³y³

Задачи по теме «Одночлены»

Теперь, когда мы разобрали все важные аспекты, связанные с одночленами, пришло время применить эти знания на практике. В следующих заданиях вы сможете потренироваться в упрощении одночленов, их сложении, вычитании, умножении, делении и даже возведении в степень.

Задача 1

Приведите одночлен к стандартному виду:

Задача 2

Выполните действие: 10ab — 4ab + ab

Задача 3

Упростите выражение:

Задача 4

Упростите выражение: (-3a²b)²

Задача 5 

Упростите выражение: (x²)³ x 4 — x¹⁰

Ответы к задачам

Давайте проверим, все ли у вас получилось. Ниже вы найдете ответы к заданиям. Если что-то не сошлось – не страшно, главное – понять, где была допущена ошибка, и разобраться в ней. 

Задача 1

Для приведения одночлена к стандартному виду необходимо перемножить коэффициенты:

а также перемножить переменные: m × m² = m¹⁺² = m³ , n остается без изменений.

Тогда получаем:

Ответ: 3m³n

Задача 2

Все одночлены подобны, то есть имеют одинаковую буквенную часть ab, поэтому складываем коэффициенты 10 — 4 + 1 = 7

Получаем: 10ab — 4ab + ab = 7ab

Ответ: 7ab

Задача 3

Разделим коэффициенты

Разделим переменные:

Тогда:

Ответ: -5a2

Задача 4

Возводим коэффициент в степень:( -3)² = 9

Возводим переменные в степень: (a²)² = a^2×2 = a⁴, b² = b²

Тогда: (-3a²b)² = 9a⁴b²

Ответ: 9a⁴b²

Задача 5

Возводим в степень: (x²)³ = x⁶

Далее умножаем: x⁶ × x⁴ = x¹⁰

И вычитаем: x¹⁰ — x¹⁰ = 0

Тогда: (x²)³ x⁴ — x¹⁰ = 0

Ответ: 0

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Ольга Комарова, учитель математики: