Объем шара
Вокруг нас множество круглых предметов: мячи и аквариумы, леденцы и плюшевые игрушки. Их форма на языке геометрии называется шаром. Разберемся, кому в жизни пригодится умение вычислять объем шара и какие формулы для этого используются
Шар не зря называют идеальной фигурой: предметы такой формы можно встретить практически во всех сферах нашей жизни. Умение вычислять объем шара пригодится кондитерам, футболистам, рукодельницам и даже любителям содержать рыбок в круглых аквариумах. Вместе с репетитором по математике вспомним необходимые формулы и решим несколько задач по теме.
Что такое объем шара в геометрии
Как и все трехмерные тела, шар обладает несколькими специфическими параметрами. Один из них объем – вместимость пространства, которое он занимает. Переводя на язык материальных объектов, это количество воздуха, воды или любого другого вещества, которое поместится внутрь ограничивающей шар сферы.
Стандартные международные единицы измерения объема – кубические метры, но наряду с ними часто используются литры, баррели и галлоны. В формулах и на чертежах объем обозначается латинской буквой V (volume).
Полезная информация об объеме шара
| Первым объем шара вычислил Архимед в III веке до нашей эры | Также он соотнес размеры цилиндра и вписанного в него шара |
| Важнейшей математической постоянной для вычисления объема шара является π | Ее значение приблизительно равно 3,14159, но чаще округляется до 3,14 |
| В школьной программе изучается трехмерный шар | Однако существует определение шара для любого n-мерного пространства |
Формулы для вычисления объема шара
Вычислить объем шара можно множеством способов, в том числе путем соотнесения его величины с объемами вписанных и описанных фигур. Но мы приведем наиболее распространенные формулы: в них используются основные параметры этого геометрического тела.
Для всех приведенных выражений актуальны следующие обозначения:
V – объем шара
r – радиус
D – диаметр
L – длина окружности
S – площадь поверхности
π – математическая постоянная, равная 3,14
Объем шара через радиус
Самый известный способ вычисления объема шара – через его радиус:
\(V=\frac43\pi r^3\)
Объем шара через диаметр
Вариант расчета через диаметр легко получается благодаря тому, что радиус равен половине диаметра:
\(V\;=\;\frac43\pi\times{(\frac D2)}^3=\\=\frac43\pi\frac{D^3}8=\frac\pi6D^3\)
\(V\;=\frac\pi6D^3\)
Объем шара через длину окружности
Вспомним формулу длины окружности и выразим объем шара через нее.
\(L\;=\;2\mathrm{πr}\\L=\frac43\mathrm\pi\;\times\;{(\frac L{2\mathrm\pi})}^3=\\=\frac43\mathrm\pi\;\times\frac{L^3}{8\mathrm\pi^3}=\frac{L^3}{6\mathrm\pi^2}\\V\;=\frac{\;L^3}{6\mathrm\pi^2}\)
Объем шара через площадь поверхности
Формула вычисления объема шара через площадь его поверхности используется достаточно редко, но тем не менее является важной.
\(V\;=\;\sqrt{\frac{S^3}{36\ast\pi}}\)
Примеры и задачи по теме «Объем шара»
Решим несколько задач на вычисление объема шара.
Задача 1
Космонавт Перепелкин так любит пить молоко, что не смог отказаться от этой привычки даже на орбите. Но вот незадача: пакет с молоком порвался и содержимое вылилось. Вычислите диаметр плавающего в невесомости по кают-компании молочного шара, если объем пакета – 1 литр.
Задача 2
Вася Тапочкин, игрок футбольной команды «Грачи», задумал сорвать игру своих главных соперников, команд «Свиристели» и «Снегири». Для этого он решил выкачать из мяча воздух и насыпать внутрь влажного речного песка. Вычислите вес получившегося спортивного снаряда, если длина окружности стандартного футбольного мяча – 70 сантиметров, а вес мокрого песка – 2000 кг/м3. Напомним, что 1 м3 = 1000 л.
Задача 3
Кондитер Вероника получила заказ на 2-килограммовый свадебный муссовый торт в форме полусферы, полностью затянутой сладкой мастикой. Помогите Веронике вычислить, в пласт какой площади ей придется раскатать мастику для этого кулинарного шедевра.
Для простоты вычислений допустим, что литр кондитерского мусса весит 1 кг. Значение π принять за 3.
Ответы к задачам
Проверим, что получилось.
Задача 1
Для решения задачи сначала переведем литры в кубические сантиметры:
1 л = 1000 см3
V = 1000
Теперь применим формулу:
\(V\;=\;\frac43\pi r^3\\r^3\;=\;\frac{1000}{4/3\times\pi}\;=\;\frac34\;\times\;\frac{\;1000}\pi\;=\;\\=\;\frac{750}\pi=\;\frac{750}{\;3.14}\;\;\approx\;239\\r\;=\;\sqrt[3]{239}\;\approx\;6,2\)
Ответ: литровый шар молока имеет радиус 6,2 см. Это примерно равно среднему грейпфруту.
Задача 2
Воспользуемся формулой объема шара через длину его окружности:
\(V\;=\;\frac{L^3}{6\mathrm\pi^2}=\frac{70^3}{6\times\;{(3,14)}^2}=\frac{343000}{6\times\;9,8596}=\\=\frac{343000}{59,1576}=\;5798\)
Объем мяча – 5 798 кубических сантиметров.
Переведем в кубические метры и узнаем итоговый вес снаряда.
5798 см3 = 0.005798 м3
2000 * 0,005798 = 11,596 кг
Ответ: мяч, наполненный мокрым песком, будет весить 11 с половиной килограммов, примерно как три кирпича.
Задача 3
Для удобства вычислений будем исходить из того, что полусфера весом 2 килограмма – это половина 4-килограммового шара. Все вычисления будем вести для него. Учитывая, что объем 1 кг мусса – 1 литр, то есть 1000 см3, объем искомого шара – 4 литра или 4000 см3.
Решим задачу, воспользовавшись формулой объема шара через площадь поверхности.
\(V\;=\;\sqrt{\frac{S^3}{36\ast\mathrm\pi}\;}\;\;\\\)
S3 = 36*π*V2 = 36 * 3 * 40002 = 108 * 4000 * 4000 = 108 * 4 * 103 * 4 * 103 = 108 * 4 * 4 * 106 = 1728 * 106
\(S\;=\sqrt[3]{1728\times10^6}=\;\sqrt[3]{1728\times}10^2=12\ast100=1200\\\)
Для полусферы разделим полученное число на 2:
1200 / 2 = 600 см2
Ответ: Веронике понадобится лист мастики площадью 600 квадратных сантиметров, примерно с лист формата А4.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Где в жизни может пригодиться умение вычислять объем шара?
В нынешних реалиях сложно представить ситуацию, где человек оказался без телефона и интернета и не может воспользоваться онлайн-калькулятором. Но давайте представим, что этот самый человек чудесным образом вдруг оказался на северном полюсе и ему нужно построить иглу, чтобы не замерзнуть.
Почему объем шара изучают в 11 классе?
В современной школьной программе объем шара для ознакомления могут ввести и значительно раньше, но в 11 классе учащиеся используют эти знания уже для решения стереометрических задач.
В каком задании ЕГЭ понадобится умение вычислять объем шара?
В базовой версии ЕГЭ задачи на объем шара можно встретить в заданиях №11 и №13, где в бланк нужно записать только ответ: целое число или конечную десятичную дробь.
В профильном ЕГЭ – несложная стереометрическая задача под номером 3, также с кратким ответом. А во второй части, в номере 14, для получения заветных баллов необходимо представить на проверку развернутое решение с соответствующим рисунком.
В профильном ЕГЭ – несложная стереометрическая задача под номером 3, также с кратким ответом. А во второй части, в номере 14, для получения заветных баллов необходимо представить на проверку развернутое решение с соответствующим рисунком.
