Объем пирамиды
В этой статье разберемся, для чего в жизни может пригодиться умение вычислять объем пирамиды и какие формулы для этого нужно использовать. А еще закрепим теорию на практике и изучим советы эксперта
Объем геометрических фигур – тема, которую изучают в старших классах. Задания на вычисление объема могут попасться в ЕГЭ, в том числе и нахождение объема пирамиды. Тема считается достаточно сложной, но если изучить виды пирамид, запомнить формулы и немного потренироваться – вполне можно овладеть навыком вычисления объема этой фигуры.
Что такое объем пирамиды в геометрии
Пирамидой в геометрии называется фигура, основа которой многоугольник, а стороны – треугольники с общей вершиной.
Объем пирамиды – это количество пространства, которое занимает фигура.
Полезная информация об объеме пирамиды
| Пирамиды бывают разные, но все они имеют основные элементы, которые могут понадобиться при вычислении объема пирамиды | Это основание, вершина, боковые грани, ребра и высота |
| Объем пирамиды можно вычислить разными способами | Способ расчета меняется в зависимости от того, какая фигура лежит в основании пирамиды или какие данные известны в задаче |
| Важно отличать высоту боковой грани и высоту самой пирамиды | Это разные величины, которые могут иметь разное значение. Для вычисления объема пирамиды необходимо знать высоту фигуры |
Формулы для вычисления объема пирамиды
Есть несколько формул вычисления объема пирамиды, они отличаются от вида самой пирамиды, а также от известных данных. Предлагаем изучить пять основных формул.
Объем пирамиды через площадь основания и высоту
Это основная формула, которой чаще всего пользуются при вычислении объема этой фигуры: объем пирамиды – это одна треть произведения площади основания пирамиды и ее высоты.
\(\mathrm V\;=\;\frac13\times\mathrm S\times\mathrm h\)
где V – объем пирамиды; S – площадь основания пирамиды; h – высота пирамиды.
Объем правильной треугольной пирамиды
Если в вашей задаче правильная треугольная пирамида, то ее объем можно найти по длине стороны основания пирамиды и ее высоте:
\(\mathrm V\;=\;\frac{\mathrm h\times\mathrm a^2}{4\sqrt3}\)
где V – объем пирамиды; h – высота пирамиды; а – сторона основания пирамиды.
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Объем правильной четырехугольной пирамиды можно также рассчитать по длине основания и высоте:
\(\mathrm V\;=\;\frac13\times\mathrm h\times\mathrm a^2\)
где V – объем пирамиды; h – высота пирамиды; а – сторона основания пирамиды.
Объем правильной шестиугольной пирамиды
Те же величины, длина основания и высота, понадобятся и при нахождении объема правильной шестиугольной пирамиды:
\(\mathrm V\;=\;\frac{\sqrt3}2\times\mathrm h\times\mathrm a^2\)
где V – объем пирамиды; h – высота пирамиды; а – сторона основания пирамиды.
Объем правильного тетраэдра через ребро
Тетраэдр – это геометрическая фигура, состоящая из четырех треугольников, один из которых в основании, а три остальных по сторонам. Найти объем правильного тетраэдра можно через длину его ребра:
\(\mathrm V\;=\;\mathrm a^3\times\frac{\sqrt2}{12}\)
где а – ребро правильного тетраэдра.
Примеры и задачи по теме «Объем пирамиды»
Чтобы закрепить полученные теоретические знания, рассмотрим несколько задач на нахождение объема пирамиды.
Задача 1
Вычислите объем пирамиды, площадь основания которой равна 20 см2, а высота 6 см.
Задача 2
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 10 см, а высота – 15 см.
Задача 3
Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого составляет 7 см.
Ответы к задачам
А теперь рассмотрим решение этих задач. Для этого просто подставляем известные нам значения в формулы, которые мы узнали из теоретической части.
Задача 1
Дано:
S = 20 см2
h = 6 см
Найти: V — ?
Решение:
\(\mathrm V\;=\;\frac13\times20\times6\;=\;40\;\mathrm{см}^3.\)
Ответ: Объем пирамиды составляет 40 см3 (кубических сантиметров).
Задача 2
Дано:
a = 10 см
h = 15 см
Найти: V — ?
Решение:
\(\mathrm V\;=\;\frac13\times15\times10^2\;=\;500\;\mathrm{см}^3.\)
Ответ: Объем пирамиды составляет 500 см3.
Задача 3
Дано:
a = 7 см
Найти: V — ?
Решение:
\(\mathrm V\;=\;73\times\frac{\sqrt2}{12}\;=\;40,42\;\mathrm{см}^3.\)
Ответ: Объем тетраэдра равен 40,42 см3.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Роман Хадаханэ, преподаватель, популяризатор математики, основатель Школы Х2 I Математика ОГЭ ЕГЭ вживую
Где в жизни может пригодиться умение вычислять объем пирамиды?
Умение вычислять объем пирамиды вряд ли пригодиться в быту. Редко у кого дома найдётся что-то, имеющее форму пирамиды. Однако пирамида красивая и одновременно сложная в изготовлении фигура. Поэтому она применяется там, где красота важнее сложности и стоимости. Как пример, архитектура. Пирамидальной крышей могут заканчиваться башни. Общественные здания, если им хотят придать значимый красивый вид, могут иметь форму пирамиды. Например, пирамида Хеопса, Хефрена, пирамида в Лувре и так далее.
Соответственно, объем пирамиды – это объем воздуха внутри нее. И этот параметр чрезвычайно важен для проектирования вентиляции, отопления, кондиционирования.
Соответственно, объем пирамиды – это объем воздуха внутри нее. И этот параметр чрезвычайно важен для проектирования вентиляции, отопления, кондиционирования.
Почему объем пирамиды изучают в 10, 11 классах?
Это связано с тем, что объем – это количественная характеристика пространства, то есть третьего измерения. А оно как раз изучается в геометрии обычно с 10 класса. Более того, при изучении объема пирамиды надо понимать и вычислять объемы тел, которые не сужаются кверху: параллелепипеда, цилиндра, призмы. То есть навык пространственного мышления должен уже более или менее сформироваться.
В каком задании ЕГЭ понадобится умение вычислять объем пирамиды?
Непосредственное вычисление объема пирамиды в базовом ЕГЭ может встретиться в задаче на стереометрию №13 и принести до одного балла.
Также понимание объема и свойств объема (в том числе пирамиды) как ключа к решению задач может встретиться в прикладной стереометрии (задание №11), что тоже оценивается в один балл.
Что касается профильного ЕГЭ, то объем пирамиды может встретиться в задаче №3 и принести до одного балла или в задаче №14 и принести до трех баллов.
Таким образом, объем пирамиды может принести до двух дополнительных первичных баллов на базовом ЕГЭ и до четырех на профильном.
Также понимание объема и свойств объема (в том числе пирамиды) как ключа к решению задач может встретиться в прикладной стереометрии (задание №11), что тоже оценивается в один балл.
Что касается профильного ЕГЭ, то объем пирамиды может встретиться в задаче №3 и принести до одного балла или в задаче №14 и принести до трех баллов.
Таким образом, объем пирамиды может принести до двух дополнительных первичных баллов на базовом ЕГЭ и до четырех на профильном.
