Объем параллелепипеда
Сколько пространства занимает многогранник со смешным названием и где нам может пригодиться формула объема параллелепипеда – обсуждаем с экспертом
Каждый ученик 5 класса должен научиться вычислять объем параллелепипеда – многогранника, обладающего, пожалуй, самым смешным названием в школьном курсе геометрии. Но как, а главное, зачем ему это делать – разберемся вместе с экспертом-математиком.
Что такое объем параллелепипеда
Объем – это геометрическая характеристика любого трехмерного объекта, им обладает в том числе и параллелепипед. Объемом называется размер (или вместимость) занимаемого трехмерной фигурой пространства.
Говоря об объеме параллелепипеда простыми словами, можно привести в пример обыкновенный прямоугольный аквариум: сколько воды в него поместится – таков и его объем.
Полезная информация об объеме параллелепипеда
| Термин «параллелепипед» пришел из латинского языка | Где parallelepipedum представляет собой сложение греческих слов parallelos – «параллельный» и epipedon – «поверхность». |
| Параллелепипед – частный случай призмы | А точнее, это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами, потому к нему применимы формулы вычисления объема призмы. |
| В математике существует общепринятое обозначение для объема | Объем обозначается заглавной латинской буквой V, что является сокращением от латинского слова volume – «объем». |
| Объем параллелепипеда не меняется при его наклоне | То есть объемы прямоугольного параллелепипеда высотой h и наклонного с такой же высотой и площадью основания будут равны. |
Формулы объема прямоугольного параллелепипеда
Как и любую геометрическую величину, объем параллелепипеда можно выразить через другие измерения рассматриваемого объекта. В случае с прямоугольным параллелепипедом для вычисления его объема достаточно параметров, которые можно определить простым измерением. Рассмотрим несколько формул.
Через три стороны
Самый простой способ нахождения объема прямоугольного параллелепипеда – измерить его стороны, выходящие из одной вершины, то есть из одного угла. После этого полученные длины необходимо перемножить.
V = a ∙ b ∙ c, где V – объем параллелепипеда, a, b и c – длины трех его сторон.
Через через площадь основания и высоту
Еще одним популярным способом вычисления объема параллелепипеда является перемножение площади его основания и высоты.
V = S ∙ h, где V – объем параллелепипеда, S – площадь основания, h – высота
Через длины сторон основания и высоту
Так как площадь основания легко вычислима перемножением длин его сторон, легко вывести еще одну формулу – через длины сторон основания и высоту фигуры.
V = a ∙ b ∙ h, где V – объем параллелепипеда, a, b – длины сторон основания, h – высота.
Формулы объема наклонного параллелепипеда
Наклонный параллелепипед – это такой шестигранник, каждая грань которого представляет собой параллелограмм.
Перед вычислением объема наклонного параллелепипеда первым делом необходимо определить его высоту. Для этого опускаем перпендикуляр – вектор, направленный из вершины под прямым углом к плоскости основания, причем точка пересечения с плоскостью может лежать вне пределов основания.
Длину высоты вычисляем с помощью формулы высоты параллелограмма. Нам необходимо знать длину бокового ребра, а также угол между основанием и этим ребром.
h = с ∙ sin(aс), где h – высота, с – длина стороны, sin(aс) – синус угла между стороной и основанием.
Если основание рассматриваемой фигуры – прямоугольник, тогда вычисляем его площадь простым перемножением длин сторон. Если же основание – параллелограмм, тогда вычисляем площадь по следующей формуле:
S = a ∙ b ∙ sin(ab), где S – площадь основания, a и b – длины сторон, sin(ab) – синус угла между ними.
Заметим, что для прямоугольного основания эта формула также применима, поскольку синус прямого угла равен единице.
Получим итоговую формулу для объема наклонного параллелепипеда:
V = a ∙ b ∙ c ∙ sin(ab) ∙ sin(ac) = S*h, где V – объем параллелепипеда, a, b, c – длины ребер, ab и ac – углы между соответствующими ребрами
Задачи на нахождение объема параллелепипеда с решением
Для закрепления знаний решим несколько задач на нахождение объема параллелепипеда.
Задача 1
Маша Васечкина очень любит ванильную пастилу, но мама не разрешает ей съедать больше трех кусочков за один раз. Маша придумала хитрость и решила расплавить свое любимое лакомство, залить в форму и снова остудить, сделав одну огромную конфету из множества маленьких. В качестве формы девочка использовала прямоугольный контейнер с основанием 10 на 15 сантиметров и высотой 6 сантиметров. Сколько килограммов сладости понадобится Маше для исполнения хитрого плана, если размеры одного прямоугольного кусочка пастилы – 2 ∙ 2 ∙ 5 сантиметров, а его масса – 25 граммов?
Решение:
Прямоугольный контейнер – это ни что иное, как параллелепипед. Поэтому для того, чтобы узнать, сколько расплавленной сладости помещается в контейнер, вычислим его объем, воспользовавшись формулой нахождения объема параллелепипеда через три стороны. По той же формуле определим объем одного кусочка пастилы.
V(контейнера) = 10 ∙ 15 ∙ 6 = 900 см3
V(кусочка) = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 см3
Определим требуемое количество сладости:
900 ÷ 20 = 45 штук
45 ∙ 0,025 = 1,125 килограмма
Ответ: Маше понадобится 1 килограмм 125 граммов пастилы.
это интересно
Задача 2
Валера Мячиков решил выкопать на своем дачном участке прямоугольный пруд и завести в нем красивых рыб. В его распоряжении площадка 2 на 4 метра, а необходимая глубина – 1,5 метра. Сколько карпов кои Валера сможет запустить в свой пруд, если для одной крупной рыбы в среднем необходимо 800 литров воды.
Примечание: один кубометр равен 1000 литров.
Решение:
Для начала определим объем бассейна в литрах, воспользовавшись формулой вычисления объема параллелепипеда через длины сторон основания и высоту и переводом величин. Основанием будет служить площадка, а высотой – глубина пруда.
V = 2 ∙ 4 ∙ 1,5 = 12 м3 = 12 000 литров
Разделим объем бассейна на тот, что необходим для одной рыбы и получим количество:
12 000 ÷ 800 = 15 карпов
Ответ: у Валеры получится пруд для 15 крупных карпов кои.
Задача 3
Кондитер тетя Зина получила заказ на создание муссового торта в виде накренившегося небоскреба. Для этого заказа она соорудила форму: наклонный параллелепипед с основанием 20 на 30 сантиметров и боковой стороной 50 сантиметров. Чтобы торт не упал во время доставки, пришлось точно выдерживать угол наклона в 75 градусов. Помогите тете Зине высчитать объем муссовой массы, необходимой для этого кулинарного шедевра.
Примечание: синус угла 75 градусов, округленный до сотых, – 0,97.
Решение:
Для начала определим высоту контейнера:
h = 40 ∙ 0,97 = 38,8.
Теперь посчитаем объем параллелепипеда:
V = 20 ∙ 30 ∙ 38,8 = 23 280 см3
Переведем объем в литры, для этого воспользуемся соотношением
1 литр = 1000 см3
V = 23 280 ÷ 1000 = 23,28 л
Ответ: тете Зине понадобится 23,28 литра муссовой массы.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
В чем измеряется объем параллелепипеда?
Объем прямоугольного параллелепипеда, как и объем любого другого объемного тела, измеряется в кубических метрах, кубических сантиметрах и так далее. Все зависит от конкретной задачи или ситуации.
Для чего в 5 классе нужно уметь вычислять объем параллелепипеда?
Это умение нужно чаще всего для решения практических задач. В 5 классе рассматривается прямой прямоугольный параллелепипед, объем которого находится простым перемножением всех трех измерений. А это действие пятиклассники уже изучили достаточно хорошо.
Для чего в жизни может понадобиться умение находить объем параллелепипеда?
Вот прямо сейчас в моей жизни стоит такая задача: мне нужно упаковать редко используемые вещи в коробки и понять, какого размера хранилище заказать для хранения этих вещей. Для этого я хочу рассчитать точное количество коробок, в которые поместятся все мои вещи, и понять, какой объем займут все эти коробки. Я согласна, что в математике есть темы, которые непросто применить в реальной жизни. Особенно с развитием интернета и появления онлайн-калькуляторов на любой вкус и цвет, а также для любой жизненной ситуации. Но такая форма, как прямоугольный параллелепипед, встречается нам на каждом шагу. Поэтому и умение находить объем является весьма практичным.
