В школьном курсе геометрии большое внимание уделено треугольнику. Медиана является важной характеристикой любого треугольника наравне с высотой и биссектрисой. Познакомимся с основными свойствами медиан
Свойства треугольников интересовали людей с древних времен: иначе как можно было соорудить грандиозные египетские пирамиды. Восхищаясь этими строениями, мы тем самым отдаем должное древнеегипетским геометрам, которые, вполне возможно, уже подозревали о существовании медианы.
Медиана треугольника (от латинского – средняя) – это отрезок или прямая линия, содержащая данный отрезок, соединяющие вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Медиана является важным понятием в геометрии, поскольку устанавливает соответствие между различными частями треугольника. Любой треугольник имеет три угла и три вершины, поэтому и медиан у него тоже три.
Наибольшая медиана | Линия, проведенная к наименьшей стороне треугольника |
Предмедиана | Отрезок от вершины треугольника до точки пересечения медиан |
Постмедиана | Отрезок от точки пересечения медиан до противоположной стороны треугольника |
Данное свойство связано с установлением зависимости между всеми медианами в треугольнике: медианы всегда пересекаются в одной точке. Она получила название центроида, которое подчеркивает центральное расположение данной точки в треугольнике. Еще ее называют центром тяжести треугольника. Важным свойством этой точки является то, что она делит каждую медиану на части в пропорции 2:1, начиная от вершины.
Как мы уже выяснили, медиана берет начало в вершине треугольника и заканчивается на противоположной его стороне. Вот эта точка и называется основанием медианы. Поскольку этих точек три, как и самих медиан, между ними удалось установить математические зависимости:
В каждом типе треугольника медиана обладает некоторыми особенными свойствами. Для медианы равнобедренного треугольника характерно:
У медианы есть свойства, характерные для всех типов треугольника, в том числе и для прямоугольного. Так, медиана разбивает любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена данная медиана, пополам. А меньшая по длине медиана соответствует большей стороне треугольника.
Есть также специфические свойства медианы в прямоугольном треугольнике. В том случае, когда медиана проведена из вершины с прямым углом, она равна половине гипотенузы. Если прямоугольный треугольник является разносторонним, то его биссектриса, проведенная из любой из трех вершин, будет располагаться между высотой, проведенной из той же вершины, и медианой.
Равносторонний треугольник благодаря одинаковому размеру всех своих сторон обладает рядом особенных свойств медианы:
В медиане можно выделить две части (предмедиану и постмедиану), характеризующие ее длину. В любом типе треугольника длина предмедианы по отношению к постмедиане равняется двум.
Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:
М = ½ умножить на корень из 2a2 + 2b2 — c2, где
М – медиана, проведенная к стороне с;
a и b – длины двух других сторон треугольника.
Интересные факты о медиане
Изучением свойств треугольников занимались древнегреческие мудрецы: Фалес и Пифагор. В «Началах» Евклида изложены уже основные аксиомы геометрии, которые позволили создать строгую науку, в том числе и учение о треугольниках.
На Руси знания о треугольниках использовались уже при строительстве крыш крестьянских изб, правда, без строгого математического обоснования. В ХVII веке в России была открыта прямая Эйлера, которая внесла много нового в понимание треугольника и его медиан. Н. И. Лобачевский создал «неевклидову геометрию», где треугольники располагаются не на плоскости, а в искривленном пространстве, поэтому и медиана перестает быть прямой линией.
Закрепим изученный материал с помощью практической задачи и простого теста на знание теории.
Задача 1
Дан треугольник АВС. Точки Е и D являются серединами сторон АВ и СВ. В точке О пересекаются отрезки АD и СЕ. Длина отрезка СЕ = 12 см, а дина отрезка АD = 15 см. Найдите длину отрезков ОЕ и ОD.
Задача 2
Выберите правильный вариант ответа.
1. Сколько медиан может иметь каждый треугольник?
а) две
б) три
в) одну
г) четыре
2. Линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны, называется:
а) биссектриса
б) высота
в) медиана
г) перпендикуляр
3. В треугольнике проведены три медианы. Сколько треугольников возникло в результате их пересечения?
а) четыре
б) восемь
в) два
г) шесть
Проверьте себя по ключам.
Задача 1
Дано:
Треугольник АВС
СЕ = 12 см
АD = 15 см
Найти:
ОЕ =?
ОD = ?
Решение:
Поскольку точки Е и D являются серединами сторон АВ и СВ, отрезки АD и СЕ являются медианами треугольника АВС. Для решения данной задачи необходимо воспользоваться основным свойством медианы: центр тяжести О делит каждую из медиан в отношении 2 к 1, начиная от соответствующей вершины треугольника. Следовательно: ОЕ = 12 : 3 = 4 см, ОD = 15 : 3 = 5 см.
Ответ:
ОЕ = 4 см
ОD = 5 см
Задача 2
1. б) три
2. в) медиана
3. г) шесть
Отвечает Анна Жадан, старший преподаватель математики Домашней школы «ИнтернетУрок»: