Медиана треугольника

Свойства треугольников интересовали людей с древних времен: иначе как можно было соорудить грандиозные египетские пирамиды. Восхищаясь этими строениями, мы тем самым отдаем должное древнеегипетским геометрам, которые, вполне возможно, уже подозревали о существовании медианы.

Что такое медиана треугольника в геометрии

Медиана треугольника (от латинского – средняя) – это отрезок или прямая линия, содержащая данный отрезок, соединяющие вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Медиана является важным понятием в геометрии, поскольку устанавливает соответствие между различными частями треугольника. Любой треугольник имеет три угла и три вершины, поэтому и медиан у него тоже три. 

Полезная информация о медиане треугольника

Основное свойство медианы

Данное свойство связано с установлением зависимости между всеми медианами в треугольнике: медианы всегда пересекаются в одной точке. Она получила название центроида, которое подчеркивает центральное расположение данной точки в треугольнике. Еще ее называют центром тяжести треугольника. Важным свойством этой точки является то, что она делит каждую медиану на части в пропорции 2:1, начиная от вершины.

Свойства оснований медиан

Как мы уже выяснили, медиана берет начало в вершине треугольника и заканчивается на противоположной его стороне. Вот эта точка и называется основанием медианы. Поскольку этих точек три, как и самих медиан, между ними удалось установить математические зависимости:

1. в треугольнике есть так называемая средняя линия, которая представляет собой отрезок, образованный в результате соединения двух оснований медиан. Этот отрезок всегда параллелен противоположной стороне треугольника;
2. средняя линия треугольника равняется ½ части параллельной ей стороны треугольника;
3. вписанная в треугольник окружность проходит через девять точек: три основания высоты, три основания медиан и середины трех отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения его высот.

Медиана в равнобедренном треугольнике

В каждом типе треугольника медиана обладает некоторыми особенными свойствами. Для медианы равнобедренного треугольника характерно:

• все три медианы пересекаются в единой точке под названием центр тяжести, которая делит каждую из медиан в пропорции 2:1;
• медиана совпадает с биссектрисой угла и высотой треугольника;
• медиана делит треугольник на два равновеликих (одинаковых по площади) треугольника;
• три медианы при пересечении разделяют геометрическую фигуру на шесть равновеликих треугольника;
• две медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника, являются одинаковыми по размеру. Это свойство не относится к медиане, опущенной на основание фигуры.

это интересно

Периметр треугольника

Рассмотрим несколько способов вычислить периметр этой геометрической фигуры

Подробнее

Медиана в прямоугольном треугольнике

У медианы есть свойства, характерные для всех типов треугольника, в том числе и для прямоугольного. Так, медиана разбивает любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена данная медиана, пополам. А меньшая по длине медиана соответствует большей стороне треугольника.

Есть также специфические свойства медианы в прямоугольном треугольнике. В том случае, когда медиана проведена из вершины с прямым углом, она равна половине гипотенузы. Если прямоугольный треугольник является разносторонним, то его биссектриса, проведенная из любой из трех вершин, будет располагаться между высотой, проведенной из той же вершины, и медианой.

Медиана в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник благодаря одинаковому размеру всех своих сторон обладает рядом особенных свойств медианы:

• все медианы в таком треугольнике одинаковую длину;
• медиана совпадает с высотой и биссектрисой угла, из которого она проведена, а также с серединным перпендикуляром;
• точка пересечения медиан представляет собой одновременно центр вписанной в треугольник и описанной вокруг него окружности;
• три медианы треугольника делят его на шесть одинаковых по площади треугольника, каждый из которых является прямоугольным.

Длина медианы треугольника

В медиане можно выделить две части (предмедиану и постмедиану), характеризующие ее длину. В любом типе треугольника длина предмедианы по отношению к постмедиане равняется двум.

Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

М = ½ умножить на корень из 2a² + 2b² — c², где

М – медиана, проведенная к стороне с; 

a и b – длины двух других сторон треугольника.

Интересные факты о медиане

Изучением свойств треугольников занимались древнегреческие мудрецы: Фалес и Пифагор. В «Началах» Евклида изложены уже основные аксиомы геометрии, которые позволили создать строгую науку, в том числе и учение о треугольниках.

На Руси знания о треугольниках использовались уже при строительстве крыш крестьянских изб, правда, без строгого математического обоснования. В ХVII веке в России была открыта прямая Эйлера, которая внесла много нового в понимание треугольника и его медиан. Н. И. Лобачевский создал «неевклидову геометрию», где треугольники располагаются не на плоскости, а в искривленном пространстве, поэтому и медиана перестает быть прямой линией.

Задачи на тему «Медиана треугольника»

Закрепим изученный материал с помощью практической задачи и простого теста на знание теории.

Задача 1

Дан треугольник АВС. Точки Е и D являются серединами сторон АВ и СВ. В точке О пересекаются отрезки АD и СЕ. Длина отрезка СЕ = 12 см, а дина отрезка АD = 15 см. Найдите длину отрезков ОЕ и ОD.

Задача 2

Выберите правильный вариант ответа.

1. Сколько медиан может иметь каждый треугольник?

а) две

б) три

в) одну

г) четыре

2. Линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны, называется:

а) биссектриса

б) высота

в) медиана

г) перпендикуляр

3. В треугольнике проведены три медианы. Сколько треугольников возникло в результате их пересечения?

а) четыре

б) восемь

в) два

г) шесть

Ответы к задачам

Проверьте себя по ключам.

Задача 1

Дано:

Треугольник АВС

СЕ = 12 см

АD = 15 см

Найти: 

ОЕ =? 

ОD = ?

Решение: 

Поскольку точки Е и D являются серединами сторон АВ и СВ, отрезки АD и СЕ являются медианами треугольника АВС. Для решения данной задачи необходимо воспользоваться основным свойством медианы: центр тяжести О делит каждую из медиан в отношении 2 к 1, начиная от соответствующей вершины треугольника. Следовательно: ОЕ = 12 : 3 = 4 см, ОD = 15 : 3 = 5 см.

Ответ: 

ОЕ = 4 см

ОD = 5 см

Задача 2

1. б) три

2. в) медиана

3. г) шесть

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Анна Жадан, старший преподаватель математики Домашней школы «ИнтернетУрок»:

Проверьте ваши знания

1. Биссектриса треугольника
2. Средняя линия треугольника
3. Равнобедренный треугольник
4. Площадь треугольника
5. Теорема о трех перпендикулярах