Линейные уравнения

Само слово «уравнение» часто пугает школьников, представляясь чем-то сложным и страшным. Еще страшнее становится, когда к этому понятию добавляется характеристика «линейное». Но так ли трудна эта тема и стоит ли переживать перед контрольной, посвященной линейным уравнениям и системам линейных алгебраических уравнений?

Давайте разберемся, что это за выражения и как с ними работать, а также научимся быстро и легко находить решения линейных уравнений и строить их графики. А после этого разберем два самых простых метода поиска решений СЛАУ: они помогут справиться практически с любым заданием по этой теме.

Что такое линейные уравнения в алгебре

Простыми линейными уравнениями, или линейными уравнениями с одной переменной, в алгебре называют такие выражения, в которых переменная, умноженная на какое-либо действительное число, приравнивается к некоторому другому действительному числу. Основное отличие таких уравнений от любых других – то, что в них присутствует только одна переменная, и она всегда стоит в первой степени.

Полезная информация о линейных уравнениях

Собрали в удобную таблицу основные характеристики линейных уравнений.

Информация о линейных уравнениях	Подробности
Общий вид линейного уравнения с одной переменной: ax = b	Где a, b – действительные числа, x – переменная
Общий вид линейного уравнения с двумя переменными: ax + by = c	Где a, b, c – действительные числа, x, y – переменные
Решением или корнем линейного уравнения является число или пара чисел	При их подстановке вместо переменных уравнение превращается в верное равенство
Линейные уравнения могут иметь одно или бесконечно много решений или не иметь их вовсе	Количество решений уравнения зависит от коэффициентов при переменных

Формула линейного уравнения

В общем виде линейное уравнение с одной переменной может быть представлено формулой:

ax = b, где
a – действительное число, оно называется коэффициентом линейного уравнения,
b – действительное число, называемое свободным членом уравнения,
x – переменная (неизвестное число, которое необходимо найти).

Но не стоит забывать и о том, что это лишь общий вид, а в учебниках и задачниках могут встретиться и такие уравнения, которые сначала нужно к такому виду привести. Например, если обозначить буквами a, b, c и d действительные числа, следующие уравнения с переменной x также будут линейными:

• ax + b = 0;
• ax + bx = c — d;
• ax × b — c = d.

Пошаговая инструкция по решению линейных уравнений

Зная, как выглядят линейные уравнения, приступим к пошаговому плану решения. Но для начала разберемся, что же вообще является их решением.

Решение линейного уравнения

Итак, как мы уже говорили, в линейном уравнении есть лишь одно неизвестное число – переменная, которая обычно обозначается латинской буквой. Собственно, решением и будет такое значение этой переменной, с которым уравнение превращается в верное равенство. Другое название этого значения – корень линейного уравнения.

Преобразование линейных уравнений

Чтобы решать было максимально легко, уравнение заранее следует привести к виду ax = b. То есть нужно сгруппировать все коэффициенты при переменной и вычислить их сумму, а также вычислить итоговое значение свободного члена. 

Не забывайте, что при переносе числа «на другую сторону равенства», оно меняет знак! Например:

13x + 7x — 5x + 27 — 7 + 10 = 90
13x + 7x — 5x + (27 — 7 + 10) = 90
(13 + 7 — 5) × x + 30 = 90
15x = 90 — 30 – здесь мы перенесли число 30 в правую часть уравнения, заменив его на противоположное
15x = 60

Вычисление значения переменной

А теперь посмотрим на получившееся уравнение: как думаете, что нужно, чтобы вычислить подходящее значение переменной? Конечно, необходимо лишь разделить значение свободного члена на коэффициент при переменной.

При этом стоит помнить о некоторых свойствах решения линейных уравнений:

1. если a ≠ 0 и b ≠ 0, корень равен b : a;
2. если a = 0, b ≠ 0, уравнение не имеет корней;
3. если a ≠ 0, b = 0, корень равен 0;
4. если a = 0 и b = 0, корнем является любое число.

Примеры решения линейных уравнений

Воспользуемся составленной инструкцией и решим несколько линейных уравнений с одной переменной. Начнем с самого простого: уравнения общего вида с целым положительным коэффициентом и таким же свободным членом.

5x = 15
x = 15 : 5
x = 3

Ничего трудного, правда? Теперь попробуем решить задачку посложнее:

3x + 12x — 25x + 28 — 3 + 5 = 10
(3 + 12 — 25)x + 30 = 10
-10x = -20
10x = 20
x = 2

Таким образом, приводя линейные уравнения с одной переменной к общему виду, можно достаточно быстро решить любое из них.

Линейные уравнения с двумя переменными

Кроме простых линейных уравнений с одной переменной, существуют и линейные уравнения с двумя переменными, которые обычно обозначаются латинскими буквами x и y. Общий вид такого уравнения:

ax + by + c = 0, где

a, b – действительные числа, они называется коэффициентами линейного уравнения;
с – действительное число, называемое свободным членом уравнения;
x, y – переменные (неизвестные числа, которые необходимо найти).

Решением линейного уравнения с двумя переменными будет пара чисел, соответствующих x и y. Если эти числа подставить на место переменных, должно получиться верное равенство. Чаще всего таких пар чисел можно подобрать бесконечно много, и все множество решений при изображении на координатной плоскости с осями x и y будет лежать на прямой линии. Отсюда и название этого типа выражений, а саму прямую называют графиком линейного уравнения.

Чтобы решить такое уравнение (при условии, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно), достаточно:

1. выбрать два любых удобных значения (x₁ и x₂) для переменной x;
2. подставить их в уравнение;
3. получить два линейных уравнения, оба – с одной переменной y;
4. решить полученные уравнения и найти соответствующие значения (y₁ и y₂);
5. отметить точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂) на координатной плоскости;
6. провести прямую через эти точки;
7. координаты любой точки на этой прямой будут решениями исходного уравнения.

Если хотя бы один из коэффициентов при переменных равен нулю, мы сразу переходим к пункту 4. Графиком решений в этом случае будет прямая, параллельная оси переменной с нулевым коэффициентом: при любом ее значении другая переменная будет равна одному и тому же числу.

Если нулю равны оба коэффициента, но свободный член – ненулевой, уравнение решений не имеет.

График линейных уравнений с двумя переменными

Построим графики двух линейных уравнений: с ненулевыми коэффициентами и с одним нулевым коэффициентом.

2x + 2y — 10 = 0

Будем действовать по алгоритму:

1. выберем: x₁ = 1 и x₂ = 2.
2. подставим значения: 2 + 2y₁ — 10 = 0 и 2×2 + 2y₂ — 10 = 0.
3. приведем к общему виду: 2y₁ = 8 и 2y₂ = 6.
4. вычислим: y₁ = 4 и y₂ = 3;
5. получим две точки: (1;4) и (2;3);

Построим прямую, содержащую все решения уравнения. Она изображена на графике.

Теперь посмотрим на уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю:

0x + 6y — 12 = 0

Благодаря нулевому коэффициенту мы получаем уравнение с одной переменной:

6y — 12 = 0

Решить его достаточно просто: y = 12 : 6 = 2.

А графиком такого уравнения будет прямая, параллельная оси 0x. Для проверки этого утверждения подставим в уравнение любые значения x, например 1 и 4. И убедимся, что обе точки (1;2) и (4;2) являются решениями:

0×1 + 6×2 — 12 = 0

0×4 + 6×2 — 12 = 0

Методы решения систем линейных уравнений

Помимо одиночных линейных уравнений в курсе алгебры могут встретиться их группы, которые иначе называются системами линейных алгебраических уравнений, сокращенно – СЛАУ. Это связанные между собой линейные уравнения, которые нужно решать одновременно: решением СЛАУ будет такая комбинация значения переменных, которая подходит для всех уравнений системы. Обычно уравнения системы записываются друг под другом, а слева объединяются фигурной скобкой.

Достаточно наглядно это можно показать на рисунке: решением системы из двух уравнений будет точка пересечения их графиков. Например, возьмем уже рассмотренные нами выше уравнения: 2x + 2y — 10 = 0 и 0x + 6y — 12 = 0 и совместим их графики. И заметим, что координаты точки M(3;2) являются решением системы уравнений: 

2x + 2y — 10 = 0
0x + 6y — 12 = 0

К сожалению, далеко не в каждой системе уравнений можно найти решение, лишь взглянув на графики. Давайте рассмотрим основные методы решения СЛАУ и найдем решения еще одной системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными с их помощью.

3x + y — 9 = 0
4x + 4y — 12 = 0

Метод подстановки

Самый очевидный метод, который еще называют школьным, заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую в одном из уравнений, а потом подставить полученное значение в другое уравнение. Таким образом, мы получим уравнение с одной переменной, и решить его не составит большого труда. Вот действия, которые нужно выполнить.

1. Выразить y через x или x через y в одном из уравнений. Выбирайте то уравнение и ту переменную, которая выражается проще всего.
2. Подставить значение во второе уравнение.
3. Упростить и решить полученное уравнение с одним неизвестным.
4. Подставить найденное числовое значение в первое уравнение и решить его для второй переменной.
5. Проверить, что значения являются решениями обоих уравнений. Для этого нужно подставить числа и проверить, получаются ли верные равенства.

Пример

Давайте решим СЛАУ этим методом.

3x + y — 9 = 0
4x + 4y — 12 = 0

Выразим y через x в первом уравнении, так как именно в этом случае при переменной не стоит никаких коэффициентов, а значит, выразить ее удобнее всего.

y = 9 — 3x

Подставим полученное значение во второе уравнение и упростим его.

4x + 4(9 — 3x) — 12 = 0
4x + 36 — 12x — 12 = 0
8x + 24 = 0
-8x = -24
8x = 24
x = 24 : 8 = 3

Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдем y.

y = 9 — 3×3
y = 9 — 9
y = 0

Проверим.

3×3 + 0 — 9 = 0
4×3 + 4*0 — 12 = 0

Равенства верны, а значит, СЛАУ решена правильно. Решение – (3;0).

Метод почленного сложения или вычитания уравнений системы

Следующий метод пригодится в тех случаях, когда выражать одну переменную через другую не очень удобно. Он заключается в том, чтобы домножить все коэффициенты и свободные члены одного уравнения на такое число, чтобы коэффициент при одной из переменных стал числом, обратным коэффициенту при той же переменной в другом уравнении. Ниже разберем наглядный пример, который покажет, что метод не так страшен, как может показаться на первый взгляд.

Пример

Попробуем решить ту же систему новым методом:

3x + y — 9 = 0
4x + 4y — 12 = 0

Первым делом посмотрим на уравнения и заметим, что в коэффициент (обозначим его a₁) при y в первом из них – единица. Во втором при той же переменной стоит коэффициент +4, обозначим его a₂. Чтобы применить метод, нам нужно домножить все первое уравнение на такое число, чтобы a₁ стало равно -a₂. В нашем случае это число -4, укажем его для удобства справа от уравнения, отделив вертикальной чертой.

3x + y — 9 = 0 | × (-4)
4x + 4y — 12 = 0
-12x — 4y + 36 = 0
4x + 4y — 12 = 0

Следующий шаг – почленно складываем уравнения СЛАУ. То есть коэффициент при x – с коэффициентом при x и так далее.

(-12 + 4)x + (-4 + 4)y + (36 — 12) = 0

И снова получаем линейное уравнение с одной переменной x.

-8x + 24 = 0
-8x = -24
x = -24 : -8 = 3

Чтобы найти значение второй переменной, подставляем найденное значение x в любое из уравнений.

4×3 + 4y — 12 = 0
12 + 4y — 12 = 0
4y = 0
y = 0

Получили тот же ответ, что и при решении первым методом.

Задачи по теме «Линейные уравнения»

Для решения следующих задач вам понадобится применить знания, полученные во время чтения этого материала. Если что-то подзабылось – не расстраивайтесь, вы всегда можете вернуться и перечитать нужный фрагмент.

Задание 1

Решите простое линейное уравнение с одной переменной:

21x — 205 — 8x + 49 = 0

Задание 2

Нарисуйте график линейного уравнения с двумя переменными:

x + 3y — 6 = 0

Задание 3

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом подстановки:

5x + y — 10 = 0
x — 3y + 14 = 0

Задание 4

Решите СЛАУ методом сложения:

3x — 2y — 6 = 0
10x + 8y — 64 = 0

Ответы к задачам

Если вам удалось выполнить все задания, проверьте себя по ответам, приведенным ниже. Если с какой-то из задач возникли сложности, познакомьтесь с приведенным подробным решением.

Задание 1

Для решения уравнения первым делом приведем его к общему виду, а после – вычислим значение переменной.

21x — 205 — 6x + 49 = 0
(21 — 8)x — 205 + 49 = 0
13x — 156 = 0
13x = 156
x = 12

Ответ: x = 12

Задание 2

Для построения графика нам понадобятся две точки. Удобно ставить их на координатных осях, для этого поочередно приравняем к нулю каждую переменную и вычислим значение оставшейся.

x + 3y — 6 = 0
x₁ = 0:

3y₁ — 6 = 0
y₁ = 6 : 3 = 2
y₂ = 0:

x₂ — 6 = 0
x₂ = 6

Прямая, проходящая через точки (0;2) и (6;0) отмечена на рисунке.

Задание 3

Для решения методом подстановки выразим y в первом уравнении через x и подставим полученное значение во второе уравнение:

5x + y — 10 = 0
x — 3y + 14 = 0
y = 10 — 5x
x — 3(10 — 5x) + 14 = 0

Решим полученное уравнение с переменной x:

x + 15x — 30 + 14 = 0
16x — 16 = 0
x = 1

Подставим значение и найдем y:

y = 10 — 5×1
y = 5

Ответ: (1;5)

Задание 4

Наиболее удобные коэффициенты для применения метода сложения – при переменной y, так как 8 кратно двум.

3x — 2y — 6 = 0 | ×4
10x + 8y — 64 = 0
12x — 8y — 24 = 0
10x + 8y — 64 = 0
22x — 88 = 0
22x = 88
x = 4

Найдем y.

3×4 — 2y — 6 = 0
12 — 2y  = 6
-2y = -6
y = 3

Ответ: (4;3)

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике: