Квадратные уравнения

Квадратные уравнения – одна из важных, фундаментальных тем в математике, без знания которой не получится ни разобраться в алгебре, ни пройти итоговую аттестацию. Вместе с экспертом разберем, что такое квадратные уравнения и почему так важно уметь их решать.

Что такое квадратные уравнения в алгебре

Строгое определение квадратных уравнений гласит, что таковыми называются уравнения следующего вида:

ax² + bx + c = 0

В котором коэффициенты «а», «b» и «c» – это действительные числа, и «a» не равно нулю.

Как и любые подобные формулы, данное представление квадратных уравнений стоит воспринимать просто как образец того, что необходимо получить для наиболее удобного и простого решения. 

Полезная информация о квадратных уравнениях

Чтобы лучше понять коэффициенты и то, как они могут располагаться, рассмотрим это на простых примерах.

Пример	Коэффициенты в квадратных уравнениях
10x2  + 6x + 3 = 0	a = 10; b = 6; c = 3
49 — x2  = 0	a = -1; b = 0; c = 49
9 + 40x — 5x2 = 0	a = -5; b = 40; c = 9
0,456x2  + 100 = 23	a = 0,456; b = 0; c = 100 — 23 = 77
18x2 + 9x = 0	a = 18; b = 9; c = 0
13k2 — 10k + 3 = 0	a = 13; b = — 10; c = 3
100x2 = 0	a = 100; b = 0 c = 0

Формула квадратного уравнения

Как таковой формулы у квадратного уравнения нет. Так можно было бы назвать то, что дано в определении, то есть уравнение вида ax² + bx + c = 0. Но этот вид является чем-то вроде ориентира, к которому нужно стремиться привести некоторое уравнение, в котором есть x², а не универсальной формулой для решения.

Формулы и способы решения квадратного уравнения мы рассмотрим ниже, но пока стоит сказать, что к формуле квадратного уравнения можно также отнести и формулы, помогающие нам найти корни.

Таким образом, общее понятие формулы квадратного уравнения для понимания можно разбить на две части – на канонический вид квадратного уравнения и на множество формул, которые помогут его решить.

Корни квадратного уравнения

Корнями квадратного уравнения называют значения х, при которых выражение вида ax² + bx + c = 0 обращается в ноль. Вопреки даваемому в школе определению, количество корней квадратного уравнение не ограничено – их может быть бесконечно много, начиная от нуля. Нахождение всех чисел, при которых выражение обращается в ноль, называется решением квадратного уравнения.

Коэффициенты квадратного уравнения

Коэффициенты – это числа, на которые мы умножаем переменные. Зная формулу квадратного уравнения, мы можем рассмотреть ее компоненты по отдельности.

Коэффициент а не может равняться нулю в квадратном уравнении, так как тогда оно просто перестанет быть квадратным – какое бы число мы ни умножили на ноль, оно станет нулем, и, таким образом, исчезнет часть с тем самым х² (или любым другим обозначением неизвестного).

Коэффициент b называют средним, или вторым коэффициентом. Это число, стоящее при х, опять же, независимо от его расположения в квадратном уравнении.

Коэффициент с называют свободным, или третьим членом. Это любое число, при котором нет х. Если вернуться к четвертой строке в таблице, можно увидеть, что свободных членов может быть как бы несколько – это числа, над которыми нужно произвести заданные действия, чтобы получить итоговую сумму или разность, которую мы уже назовем свободным членом.

Таким образом, х не является коэффициентом, а называется неизвестным, или искомым. Для приведения уравнения к каноническому виду с х можно также совершать разные преобразования, например выносить за скобки для более быстрого решения.

Коэффициенты могут располагаться в любом порядке. Заданное уравнение может требовать некоторых преобразований, чтобы привести его к нужному виду – к формуле выше. Но они все равно остаются квадратными уравнениями.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Первым делом скажем, что понятие приведенных и неприведенных квадратных уравнений не имеет ничего общего с приведением уравнения к каноническому виду – несмотря на схожесть в словах, это разные понятия.

Приведенными называются уравнения, где старший член а, стоящий при х², равен единице. Умножая что угодно на единицу, мы получим то же самое число, поэтому такое уравнение можно представить в виде общей формулы:

х² + bx + c = 0.

К приведенным квадратным уравнениям также будут относиться любые варианты этой формулы, где остальные члены, кроме главного, принимают любые значения, включая ноль.

Непривиденными квадратными уравнения мы, соответственно, назовем все уравнения, где старший член отличается от единицы и не равен нулю.

Полные и неполные квадратные уравнения

Теперь обозначим еще две логически вытекающих из определения группы квадратных уравнений – полные и неполные.

Полные квадратные уравнения – это уравнения, где все коэффициенты отличаются от нуля. Здесь у нас есть все три составляющие – первый, второй и третий члены, и мы можем их увидеть на бумаге. Если бы какой-то из коэффициентов равнялся нулю, мы бы не писали его, так как прибавление или вычитание нуля ничего не изменит, поэтому это действие обычно опускается.

Неполные квадратные уравнения – это уравнения, в которых средний и свободный члены равны нулю, одновременно или по отдельности. На самом деле, такие уравнения вполне себе полные, просто здесь опускается умножение на ноль, за счет чего «видимые» части как бы пропадают.

Способы решения квадратных уравнений

Может показаться, что разделение на группы, описанное выше, несколько бесполезное действие: какими бы ни были коэффициенты, решать все равно предстоит одинаковые примеры. Но понимание особенностей каждой группы и умение быстро их определять, на самом деле, может очень ускорить решение, ведь некоторые способы, применимые только для одной группы, быстрее, чем те, которые можно использовать везде.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Первым делом всегда изучается решение квадратных уравнений с использованием дискриминанта, так как это общий способ, который подходит абсолютно для всех квадратных уравнений.

Вспомним формулу квадратного уравнения и рядом с ней запишем формулу нахождения дискриминанта:

ax² + bx + c = 0 – формула квадратного уравнения;
D = b² — 4ac – формула дискриминанта.

Алгоритм здесь следующий: сначала мы находим коэффициенты (их можно писать карандашом над числами в уравнении, чтобы не запутаться), а потом подставляем их в формулу дискриминанта. Для неполных квадратных уравнений важно помнить, что коэффициенты там равны нулю и их тоже нужно использовать в формуле.

Формулу дискриминанта также можно развернуть и записать немного подробнее, благодаря чему можно получить другой вариант: 

D = a² (x₁ — x₂)²

Эта формула больше подойдет для самопроверки, но чуть позже в школьной программе вы узнаете, как эта формула связана с разложением квадратного трехчлена на множители.

Теперь дополним алгоритм решения. Найденный дискриминант нужно проанализировать и понять, к какому из трех возможных вариантов он относится, и уже исходя из этого выбирать, что делать дальше.

Если дискриминант получился меньше нуля, то есть любым отрицательным числом, то действительных корней у уравнения нет. Это важное уточнение, потому что корни у такого уравнения могут найтись где-нибудь в комплексных числах, но это уже материал для старшей школы. Сталкиваясь с квадратными уравнениями в начале, можно смело говорить, что, если дискриминант отрицательный, то корней нет.

Остается еще два варианта – дискриминант равен нулю или какому-нибудь положительному числу. Алгоритм действий тут одинаковый, но с маленькой оговоркой.

Если дискриминант не отрицательный или равен нулю, то корней у него всегда два. Просто в случае, когда он равен нулю, оба этих корня имеют одинаковое значение, но их все же два. Чуть ниже в формуле будет понятно, почему так получается.

Формула нахождения двух корней такого квадратного уравнения выглядит так:

Как видно из формулы, если дискриминант равен нулю, то эти выражения будут равны – ничего не изменится, если мы прибавим или вычтем ноль. Так и получится два корня одинакового значения.

Важно отметить, что средний коэффициент мы берем с обратным знаком. Это необязательно будет минус, здесь он просто обозначает умножение b на -1. То есть если коэффициент уже сам по себе отрицательный, то в формуле мы будем использовать его положительным.

Закончим рассмотрение этого способа повторением алгоритма:

1. ищем дискриминант;
2. смотрим на значение дискриминанта; если отрицательный, то корней нет.
3. подставляем дискриминант в формулу для нахождения корней уравнения;
4. находим корни.

Пример

Чтобы закрепить алгоритм решения, рассмотрим его на примере:

x² + 6x + 5 = 0

Мысленно отметив коэффициенты, подставим их в формулу дискриминанта:

Мы видим, что дискриминант положительный – значит, корней у такого уравнения будет два. Снова возвращаемся к формуле и подставляем коэффициенты и корень из найденного дискриминанта:

Ответом будет -1 и -5. Мы возьмем это уравнение за ориентир и рассмотрим на нем же остальные способы. Проверить себя всегда можно будет через решение дискриминантом.

Решение квадратного уравнения при четном коэффициенте b

Мы уже упоминали, что в некоторых случаях можно использовать менее громоздкие формулы, и это один из них. Если в квадратном уравнении коэффициент b четный, можно использовать другие варианты решения через все тот же дискриминант.

Рассмотрим формулу такого уравнения, немного отходя от канонического вида:

ax² + 2kx + c = 0 – формула квадратного уравнения.
2k = b – наш четный коэффициент, представленный как умножение его половинки на 2. За половину b берется k.

Теперь поменяем формулу дискриминанта, чтобы она соответствовала преобразованиям канонического вида:

D : 4 = k² — ac

Все осталось абсолютно тем же, просто более маленькие числа считать значительно проще и быстрее. Формула нахождения корней и вовсе не изменится, просто мы заменим там один из коэффициентов:

Алгоритм для решения здесь остается таким же, как и в прошлом способе. Основное изменение происходит только в том, что мы дополнительно работаем с четным средним коэффициентом, чтобы сделать процесс решения чуть легче.

Пример

Вернемся к уже решенному уравнению: x² + 6x + 5 = 0. Вместо того чтобы следуя алгоритму первого способа решать его «в лоб», проведем небольшой анализ: выпишем коэффициенты и попытаемся найти в них что-нибудь полезное. Таким незамысловатым образом мы увидим, что средний коэффициент тут равен 6, а 6 – четное число. Мы можем мысленно разложить этот коэффициент на 3 * 2, чтобы прийти к тому, что нам нужно в этом способе.

И снова подставляем все найденное в формулы:

Домножим 4 на 4, чтобы найти дискриминант, и получим уже известное нам правильное значение – 16.

Мы получили те же самые корни, из чего можно сделать вывод, что этот способ также можно применять. Главное тут – не запутаться и не забыть, что мы используем «четвертинку» дискриминанта, а не полный.

Решение неполных квадратных уравнений

Здесь мы снова воспользуемся формулой дискриминанта, но рассмотрим ее под другим углом.

Для начала скажем, что в неполных квадратных уравнениях, в которых все члены, кроме старшего, равны нулю, ответ всегда будет ноль. Это можно легко проверить, потому что, каким бы ни был коэффициент при неизвестном, ноль мы можем получить, только умножив на него.

Теперь рассмотрим случай, когда нулю равен второй член, коэффициент b:

ax² + c = 0

Преобразуем формулу дискриминанта:

D = -4ac

И формулу для нахождения корней через него:

Преобразовав это выражение, мы получим формулу, которую можно использовать для быстрого нахождения корней уравнения с нулевым средним коэффициентом:

Так выйдет гораздо быстрее.

Теперь рассмотрим случай, где нулю равен свободный член. У нас будет уравнение вида:

ax² + bx = 0

Вынесем за скобки общий множитель х и получим следующее выражение:

x(ax + b) = 0

Чтобы получить ноль при умножении двух чисел, хотя бы одно из них должно равняться нулю. Тогда мы сразу можем обозначить первый корень такого уравнения – он всегда будет равен нулю. Второй ищется довольно просто:

x = -b : a

Пример

Сначала рассмотрим пример, где b и с равны нулю.

3x² = 0

Поделим обе части уравнения на 3 и получим:

x² = 0

Из чего следует, по правилу умножения на ноль, что х = 0.

Теперь решим уравнение при b равном нулю.

x² — 9 = 0

Переносим 9 в правую часть, а потом ищем корни в соответствии с несколько модифицированной формулой дискриминанта:

Корнями уравнения будут -3 и 3 соответственно.

Последним рассмотрим пример решения уравнения, где коэффициент с равен нулю. Возьмем для разнообразия неприведенное квадратное уравнение 3х² — 9х=0

Первым делом нам нужно разложить это выражение на множители. Посмотрев на коэффициенты, мы видим, что мы можем вынести за скобки 3х. Тогда получим выражение:

3х (х-3) = 0

Вспоминая правило умножения на 0, построим следующую логическую цепочку: чтобы в ответе был 0, хотя бы один или оба множителя должны быть ему равны. И рассматриваем оба случая в простой системе уравнений:

Отсюда получим корни: 0 и 3.

Решение квадратных уравнений через теорему Виета

Теорема Виета гласит, что корни квадратного уравнения можно найти через следующую систему:

Есть также вариант, при котором выражение слегка меняется (домножается на главный коэффициент и его квадрат):

В школах часто объясняется, что теорему Виета можно использовать только для решения приведенных квадратных уравнений, где старший коэффициент равен одному. Но, на самом деле, эта теорема применима во всех случаях так же, как и дискриминант, просто нужно учитывать, что коэффициенты в полной формуле делятся еще на а.

Алгоритм решения для теоремы Виета короче, чем для решения через дискриминант:

1. обозначаем коэффициенты;
2. подставляем в формулу;
3. подбираем числа.

Единственный минус этого способа состоит в том, что решение здесь находится через подбор чисел, что может быть довольно сложно, если с коэффициентами не повезет.

Пример

Возьмем уравнение 3х² — 9х + 6 = 0 и составим систему:

А теперь сократим это все. В нашем примере коэффициенты удачные – все кратны одному и тому же числу, тройке.

И сразу же видим корни – 1 и 2. Проверим себя, сложив и перемножив их. Можно даже в несокращенную формулу подставить, чтобы точно не запутаться. Убедимся, что это действительно корни нашего уравнения.

Решение квадратных уравнений графическим способом

Решить квадратное уравнение графически можно несколькими способами. Но в любом из них нужно построить графики функций и искать пересечения.

Самый простой вариант – построить график функции у = ax² + bx + c = 0 и найти две точки, в которых парабола пересекается с осью х. Эти две точки и будут корнями квадратного уравнения. Строить график можно простым табличным методом, перебирая значения переменных на любом интервале, затрагивающем 0. На графике отмечаются полученные точки с координатами «х, у», после чего по ним чертится парабола.

Другой варианты этого же приема – построить два графика функций: у = ax² и у = -bx — c. Корнями здесь будут «иксы» точек пересечения этих двух графиков.

Можно также перенести коэффициент с к первой функции и найти уже пересечения графиков у = ax² + с и у = -bx.

Для уравнений, где с не равен нулю, можно начертить два других графика и также отыскать абсциссу (х) точек их пересечения. Эти графики будут: у = ax + b и у = -с : х.

К графическим способам решения относится и метод с черчением окружности на координатной плоскости. Окружность чертится с центром в точке S, х-координата которой равна -b/2a, а у-координата (a+c)/2a. На этой окружности обязательно должна лежать точка К(0; 1). Далее нужно опустить из центра окружности перпендикуляр на ось х.

Если перпендикуляр меньше радиуса окружности, значит, корнями уравнения станут точки, в которых окружность пересекает ось х. Если перпендикуляр оказался равен радиусу, то будет два корня, имеющих одинаковое значение. Если же перпендикуляр оказался больше радиуса, то действительных корней у такого уравнения не будет.

Пример

Возьмем одно уравнение и начертим для него все возможные графики (на разных координатных плоскостях). Нашим подопытным уравнением здесь будет уже знакомое нам x² + 6x + 5 = 0

Получаем функцию: у= x² + 6x + 5 и чертим ее график:

Наши корни: -5 и -1 сразу наглядно видны.

Можно разложить это уравнение на две функции:

y= x²

y = — 6x — 5

И снова видим наши корни – уже «иксы» пересечения двух графиков.

Решение квадратных уравнений через полный квадрат суммы или разности

Данный способ является более сложным, но о нем тоже нельзя забывать. Обычно его изучают в математических классах.

Трехчлен вида ax² + bx + c можно разложить на множители. Получится следующее:

(kx + m)(lx + n) = 0

Отсюда следует:

Таким образом, корни уравнения будут:

Если в процессе разложения окажется, что множителей с действительным коэффициентом не нашлось, можно с уверенностью сказать, что и действительных корней у такого уравнения не будет.

Этот способ особенно удобен, если уравнение имеет вид (ax)² + 2аbx + b² = 0, чего можно добиться с помощью разных преобразований. Здесь всегда будет два равных корня, и находятся они по формуле:

Из канонического квадратного уравнения можно также выделить полный квадрат суммы или разности, вычитая и добавляя одно и то же определенное число. Этот метод стоит применять только к приведенным квадратным уравнениям.

Далее мы раскрываем скобки и получаем:

Преобразуем с помощью переноса в правую часть:

И просто выделяем корни:

Пример

Снова возьмем наше знакомое уравнение x² + 6x + 5 = 0 и решим его теперь уже через выделение полного квадрата.

Первым делом вспоминаем формулу полного квадрата: (a+b) = a² + 2ab + b². Посмотрите на уравнение: в нем как будто чего-то не хватает. Ориентиром тут будет 6х, который мы приравниваем к 2ab. Мы уже знаем, что а у нас равно х, а вот b будет равно половине остатка от деления на него:

6x = 2xb
6 = 2b
b = 3

Мы получили второй кусочек нашего полного квадрата. Дело за малым:

x² + 6x + 3² = — 5 + 3²
x² + 6x + 9 = — 5 + 9

А теперь слева собираем скобку, а справа просто считаем:

(x+3) ² = 4

Раскрываем скобки, считаем и находим корни: -5 и -1.

Задачи по теме «Квадратные уравнения»

Потренируемся в решении квадратных уравнений с помощью задач.

Задача 1

Решите уравнение с помощью дискриминанта:

8x + 5x² = -3

Задача 2

Решите уравнение с помощью теоремы Виета:

2x² — 6х = 0 

Ответы к задачам

Ниже приведем решения и ответы к каждой задаче, чтобы вы могли проверить себя.

Задача 1

Пошаговое решение:

1. Находим коэффициенты и переписываем уравнение, чтобы не запутаться:
   5x² + 8x + 3 = 0
   a = 5; b = 8; c = 3
2. Находим дискриминант по формуле: D = 64 — 60 = 4.
3. Найдем корень из 4. Он равен 2.
4. Подставим в формулу для корней:
   x₁ = (- 8 + 2) : 10 = 6 : 10 = 3 : 5 = — 0,6
   x₂ = (- 8 — 2) : 10 = — 10 : 10 = -1

Ответ: -1 и — 0,6

Задача 2

Пошаговое решение:

1. Находим коэффициенты и переписываем уравнение, чтобы не запутаться:
2x² — 6х + 0 = 0
a = 2b = -6c = 0

2. Подставляем в полную формулу теоремы Виета найденные коэффициенты:

3. Методом подбора находим корни – -3 и 0.

Ответ: -3 и 0

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Денис Романов, репетитор по математике: