Кубические уравнения

Кубические уравнения представляют собой одну из самых интересных областей алгебры, хотя поначалу они могут казаться трудными для понимания. Однако нет причин для беспокойства! В этой статье мы пройдемся по всем ключевым аспектам, начиная с основных определений и заканчивая полезными методами решения таких уравнений. Вы узнаете, как правильно подходить к задачам такого типа и находить верные ответы шаг за шагом.

Что такое кубическое уравнение 

Кубическое уравнение — это математическое выражение, которое содержит переменную (обычно обозначаемую как x), возведённую в третью степень, а также члены более низких степеней (вторая, первая и нулевая степени). В общем виде оно записывается так: ax³ + bx² + cx + d = 0, где a, b, c, d — коэффициенты, которые могут быть любыми числами, при условии, что коэффициент a ≠ 0.

Полезная информация о кубических уравнениях

Кратко познакомимся с кубическими уравнениями с помощью небольшой таблицы.

Формула кубического уравнения

Кубическое уравнение имеет вид: ax³ + bx² + cx + d = 0, где a, b, c, d — коэффициенты, а x переменная. Коэффициент  не может быть равен нулю (иначе это будет квадратное уравнение).

Корни кубического уравнения

Кубическое уравнение всегда имеет ровно три корня, однако некоторые из них могут совпадать (быть кратными). Корни могут быть как действительными, так и комплексными.

Если у кубического уравнения есть три действительных корня x₁, x₂, x₃​, то их сумма равна — ^b/_a , произведение равно — ^a/_b , а сумма произведений пар корней равна ^c/_a. Это свойство известно как теорема Виета.

Дискриминант кубического уравнения определяется, как Δ = b²c² — 4ac³ — 4b³d — 27a²d² + 18abcd. Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения. Если Δ>0, уравнение имеет три различных действительных корня. Если Δ<0, уравнение имеет один действительный корень и два комплексных сопряженных корня.

Если Δ=0, уравнение имеет либо один тройной корень, либо один однократный и один двойной корень.

График функции ƒ(x) = ax³ + bx² + cx + d представляет собой кривую третьего порядка, которая пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням уравнения.

Уравнение имеет две критические точки, соответствующие максимуму и минимуму функции. Эти точки можно найти, взяв первую производную функции и приравнивая ее к нулю.

это интересно

Дискриминант

Что это такое и как решать квадратные уравнения по формуле c его помощью

Подробнее

Способы решения кубических уравнений

Для нахождения корней кубического уравнения можно использовать различные методы: способ группировки, разложение на множители, использование теоремы Виета, формула Кардано и другие. Каждый метод имеет свои особенности и применяется в зависимости от конкретной ситуации. Ниже рассмотрим основные способы решения кубических уравнений и приведем наглядные примеры.

Способ группировки

Способ группировки применяется, когда коэффициенты уравнения позволяют сгруппировать члены так, чтобы получилось произведение двух многочленов. После группировки можно попытаться вынести общий множитель и решить получившееся уравнение.

Сначала мы группируем члены уравнения так, чтобы можно было вынести общий множитель. А затем решаем полученные уравнения относительно каждого множителя.

Пример

Рассмотрим уравнение x³ + 3x² — 4x — 12 = 0

Группируем члены: x³ + 3x² — 4x — 12 = 0; (x³ + 3x²) + (- 4x — 12) = 0  

Выносим общий множитель в каждой группе: x²(x + 3) — 4(x + 3) = 0  

Заметим, что выражение (x + 3) можно вынести за скобку: (x + 3)(x² — 4) = 0                                             

Произведение двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем: x + 3 = 0 или x² — 4 = 0

Ответ: –3; –2; 2.

Способ группировки помогает, когда можно выделить группы членов с общим множителем. 

Разложение на множители

Метод разложения на множители используется, когда возможно представить кубическое уравнение в виде произведения линейных множителей. Этот подход основывается на поиске рациональных корней уравнения, которые затем используются для разложения уравнения на простые множители.

Рассмотрим этот метод по шагам.

1. Проверяем наличие рациональных корней, используя теорему о рациональных корнях.
2. Если находим корень, делим исходное уравнение на соответствующий линейный множитель.
3. Повторяем процедуру до полного разложения уравнения.

Способ разложения на множители удобен, когда уравнение имеет очевидные рациональные корни.

Пример

Рассмотрим уравнение x³ — 7x² + 14x — 8 = 0.

Сначала проверим наличие рациональных корней. Возможные рациональные корни будут делителями свободного члена (-8). Проверяя возможные значения (±1, ±2, ±4, ±8), находим, что  x = 1 является корнем.

 a = — 8, его делители: ±1, ±2, ±4, ±8;

при x = 1, 1³ — 7 × 1² + 14 × 1 — 8 = 0 — верно, значит, x = 1 – корень уравнения. 

Теперь разделим исходное уравнение на (x — 1).

Делим «уголком» многочлен (x³ — 7x² + 14x — 8) на двучлен (x — 1). Запишем

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала x³, затем — 7x² и так далее. Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала третью степень, затем вторую и так далее.

Так как делитель x — 1 состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить x — 1, чтобы после вычитания из x³ — 7x² полученного многочлена уничтожилось слагаемое x³ на x². Тогда после вычитания (x³ — 7x²) — (x³ — x²) = x³ — 7x² — x ³ + x² = -6x² останется -6x². Снесем слагаемое 14x:

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить x — 1, чтобы после вычитания из -6x² + 14x полученного многочлена уничтожилось слагаемое  — 6x² на — 6x : — 6x² + 14x — (x — 1) × (- 6x) = — 6x² + 14x — (- 6x² + 6x) = — 6x² + 14x + 6x² — 6x = 8x. Опять снесем следующее слагаемое -8:

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть 8:

Таким образом, можно сказать, что x³ — 7x² + 14x — 8 = (x — 1)(x² — 6x + 8). Значит, остальные корни исходного уравнения – это корни уравнения x — 1 = 0 или x² — 6x +8 = 0.

Если x = 1 действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть 0. В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

Это приведенное квадратное уравнение, поэтому решим квадратное уравнение по формулам Виета.

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения x₁ = 2; x₂ = 4. Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: 1; 2; 4.

Решение возвратных (симметричных) уравнений 3-й степени

Уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0, где a ≠ 0, называется возвратным, или симметрическим, если его коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Решение возвратных (симметричных) уравнений 3-й степени

Алгоритм решения таких уравнений следующий.

1. В левой части уравнения нужно сгруппировать члены с одинаковыми коэффициентами:
   ax³ + bx² + bx + a = 0
   (ax³ + a) + (bx² + bx) = 0
2. Разложить на множители многочлен:
   a × (x³ + 1) + bx ×(x + 1) = 0
   a × (x + 1)(x² — x + 1) + bx × (x + 1) = 0
   (x + 1)(a × (x² — x + 1) + bx) = 0
   (x + 1)(ax² -ax + a + bx) = 0
   (x + 1)(ax² + (b — a) × x + a) = 0
3. Решить уравнения
   x + 1 =0 или ax² + (b — a) × x + a = 0
   x = — 1

Получили квадратное уравнение.

Мы видим, что возвратное уравнение 3-й степени обязательно имеет один корень (-1). Корни квадратного уравнения легко находятся.

Пример

Рассмотрим уравнение  

Данное уравнение – возвратное, так как симметричные коэффициенты равны. Следовательно, левую часть уравнения можно разложить на множители: 5x³ — 8x² — 8x + 5 = (5x³ + 5) + (- 8x² — 8x) = 5 × (x³ + 1) — 8x × (x + 1) = 5 × (x + 1)(x² — x + 1) — 8x × (x + 1) = (x + 1)(5 × (x² — x + 1) — 8x) = (x + 1)(5x² — 5x + 5 — 8x) = (x + 1)(5x² — 13x + 5)

(x + 1)(5x² — 13x + 5) = 0
x + 1 = 0 или 5x² — 13x + 5 = 0
x = — 1

Решаем квадратное уравнение  5x² — 13x + 5 = 0  

Задачи по теме «Кубические уравнения»

Давайте вместе порешаем кубические уравнения разными способами.

Задача 1

Решите уравнение  x³ + 2x² +2x + 1 = 0 способом группировки.

Задача 2

Решите уравнение  4x³ + x² — 3x — 2 = 0 путем разложения на множители.

Задача 3

Решите уравнение  x³ + 2x² — x — 2 = 0 двумя способами: с помощью группировки членов и через разложение на множители. 

Ответы к задачам

Ниже приведем подробное решение для каждого уравнения.

Задача 1

Дано уравнение x³ + 2x² +2x + 1 = 0. Решим его способом группировки.

x³ + 2x² +2x + 1 = 0
(x³ + 1) + (2x² + 2x) = 0
(x + 1)(x² — x + 1) + 2x(x + 1) = 0
(x + 1)(x² — x + 1 + 2x) = 0
(x + 1)(x² + x + 1) = 0
x + 1 = 0 или x² + x + 1 = 0
x = — 1
D = b² — 4ac = 1² — 4 × 1 × 1 = 1 — 4 = — 3, D < 0 – нет корней.

Ответ: –1.

Задача 2

Дано уравнение 4x³ + x² — 3x — 2 = 0.

a = -2, его делители: ±1; ±2.

при  x = 1,  4 × 1³ + 1² — 3 × 1 — 2 = 4 + 1 — 3 -2 = 0 – верно, значит,  x = 1 – корень уравнения. 

4x³ + x² — 3x — 2 = 0
(x — 1)(4x² + 5x + 2) = 0
x — 1 = 0 или 4x² + 5x + 2 = 0
x = 1
D = b² — 4ac = 5² — 4 × 4 × 2 = 25 — 32 = — 7, D < 0 – нет корней.

Ответ: 1.

Задача 3

Сначала рассмотрим ход решения способом группировки:

x³ + 2x² — x — 2 = 0
(x³ + 2x²) + (- x — 2) = 0
x²(x + 2) — (x + 2) = 0
(x + 2)(x² — 1) = 0
(x + 2)(x + 1)(x — 1) = 0

x + 2 = 0 или x + 1 = 0  или x — 1 = 0 
x = — 2; x = — 1; x = 1.

Ответ: –2; –1; 1.

Теперь решим это же уравнение путем разложения на множители.

x³ + 2x² — x — 2 = 0

a = — 2, его делители: ±1; ±2.

при x = 1, 1³ + 2 × 1² — 1 -2 = 1 + 2 — 1 -2 = 0 — верно, значит,  x = 1 – корень уравнения. 

x³ + 2x² — x — 2 = 0  
(x — 1)(x² + 3x + 2) = 0
x — 1 = 0 или x² + 3x + 2 = 0

Ответ: –2; –1; 1.

Популярные вопросы и ответы