Геометрическая прогрессия
В любом учебнике по алгебре можно встретить огромное количество задач по геометрической прогрессии. Вместе с экспертом разбираемся, что это такое и как их решать
Геометрическая прогрессия считается куда более сложной, чем арифметическая. Как минимум потому, что в ней числа не складываются или вычитаются, а умножаются или делятся. Из-за этого находить неизвестные члены геометрической прогрессии, а также их суммы, становится особенно трудно. Вместе с репетитором по математике разбираемся, как это делать.
Что такое геометрическая прогрессия в алгебре
Геометрическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое следующее число больше или меньше предыдущего во сколько-то раз. Например, последовательность степеней двойки – 2, 4, 8, 16. Каждое следующее число вдвое больше предыдущего.
Полезная информация о геометрической прогрессии
| Зачем это нужно | Геометрические прогрессии встречаются не только в учебниках по алгебре. Они также используются для решения задач на ОГЭ и ЕГЭ |
| Легко запомнить | Для решения задач на геометрическую прогрессию достаточно знать всего пару простых формул |
| Просто подставить | Если есть все формулы, то в них нужно просто подставить известные значения и посчитать |
| Можно найти что угодно | Числа в геометрической прогрессии неразрывно связаны друг с другом. Если известно одно – можно найти другое |
Формулы геометрической прогрессии
Для начала стоит запомнить основную формулу геометрической прогрессии. Она выглядит так:
bn+1 = bn × q
В ней b – это один из членов прогрессии, причем совершенно любой. Буква q обозначает знаменатель. То есть разницу между двумя соседними членами прогрессии. При этом ни b, ни q никогда не должны равняться нулю.
В задачах на геометрическую прогрессию чаще всего требуется найти один из ее членов. При этом остальные, как правило, известны. В таком случае стоит запомнить одну формулу:
\(x_n\;=\;{bq}^{n-1}\)
Давайте разберемся, что значит каждая из букв.
x – это число, которое нужно найти;
b – первый член всей прогрессии;
q – знаменатель прогрессии;
n – порядковый номер того числа, которое вы ищете. Он указан в условии задачи.
Если первый член геометрической прогрессии неизвестен, то можно использовать любое другое число из этой же последовательности. Но формула будет немного другой:
\(b_n=b_k\times q^{n-k}\)
При этом буквой k обозначает порядковый номер того числа, которое используют.
Знаменатель геометрической прогрессии
Далеко не во всех задачах по геометрической прогрессии сказано, чему равен знаменатель. Тогда его придется найти самостоятельно. Для этого нужно разделить один член прогрессии на предыдущий. Формула выглядит так:
\(q=b_{n+1}:b_n\)
Сумма первых членов геометрической прогрессии
Иногда для решения тех или иных задач нужно найти сумму первых членов геометрической последовательности. Тогда можно просто сложить порядковые значения. Однако иногда некоторые из них неизвестны. Давайте разберемся, что делать в таких случаях.
это интересно
Среднее арифметическое
Что такое среднее арифметическое, как его найти и зачем уметь это делать
Подробнее
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Самыми сложными кажутся те упражнения, в которых нужно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии. Для их решения примените формулу:
\({\mathrm S}_{\mathrm n}=\frac{{\mathrm b}_1\left(\mathrm q^{\mathrm n}-1\right)}{\mathrm q-1}\)
Затем подставьте цифры вместо букв и произведите простейшие вычисления. Но помните, такое правило действует, только если знаменатель не равен единице. А в случае, когда q=1, получается следующая формула:
Sn = b1 × n
Свойство геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия не ограничивается одними формулами. У нее также есть характерные свойства. Например, квадрат любого числа в конкретной последовательности всегда равен произведению тех членов, которые стоят с двух сторон от него. Формула выглядит так:
bn2 = bn-1 × bn+1
Немного примеров. Представим, что перед нами последовательность: 2, 4, 8, 16, 32… Тогда 42 = 2 × 8, а 82=4 × 16.
Исключением будет первый член геометрической прогрессии. С ним такое правило не действует.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия бывает не только возрастающей, но и убывающей. С последней все не так просто. Иногда она может убывать бесконечно. Такое бывает в случаях, когда модуль знаменателя меньше единицы.
Иногда в задачах требуется найти сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда результатом будет то, что получится при делении первого числа в последовательности на разницу единицы и знаменателя. Формула выглядит так:
S = b1/(1-q)
Задачи и примеры на тему «Геометрическая прогрессия»
Любые знания лучше всего закрепляются на практике. Давайте немного потренируемся и решим несколько задач на геометрическую прогрессию.
Задача 1
Известно, что первый член геометрической прогрессии равен 5, а знаменатель – 4. Найдите семнадцатый член данной последовательности.
Задача 2
Найдите сумму первых четырех членов следующей геометрической прогрессии: Bn = 120 × 2n
Задача 3.
Дана геометрическая прогрессия: 14, -56, х, -224, 896. Найдите х.
Ответы к задачам
Давайте проверим решения.
Задача 1
Если нужно найти определенный член геометрической прогрессии, когда известно первое число и знаменатель, то стоит воспользоваться формулой:
bn = b1 × qn-1.
Теперь вместо букв подставим числа:
B17 = 5 × (-4)5-1
Останется только посчитать.
B17 = 5 × 256 = 1280.
Ответ: 1280
Задача 2
В первую очередь нужно найти знаменатель прогрессии. Тут пригодится следующая формула:
q = (Bn+1)/Bn
Тогда:
q = (120+2n+1)/120 × 2n = 2
Теперь найдем первый член данной прогрессии. Получится: b1 = 120 × 22 = 120 × 4 = 480.
Останется только воспользоваться формулой суммы k первых членов прогрессии.
S4 = 480 × (1 – 24)/1-2 = 480 × (1-16)/-1 = 480 × (-15)/-1 = -7200/-1 = 7200.
Ответ: 7200
Задача 3
Подобные задачи можно решать сразу несколькими способами. Проще всего вспомнить, что квадрат одного члена всегда равен произведению его «соседей». Поэтому:
x2 = -56 × (-224) = 12 554
В конце нужно извлечь корень из 12 554. Получится 112.
Ответ: 112
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Юлиана Журавлёва, репетитор по математике, специалист по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ:
Когда геометрическая прогрессия убывает?
Если каждое последующее число будет меньше предыдущего в определенное количество раз, то такую прогрессию называют убывающей.
Почему геометрическую прогрессию изучают в 9 классе?
Знакомство с понятием степени, а также со свойствами степеней происходит в 8 классе. К тому же при работе с формулами суммы прогрессии может понадобиться навык решения дробно-рациональных уравнений. Это тоже 8 класс. Поэтому логично, что прогрессии изучают в 9 классе.
В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике могут встретиться задачи на тему «Геометрическая прогрессия»?
В ОГЭ есть задание №14. В нем может встречаться прогрессия. Причем как арифметическая, так и геометрическая. В ЕГЭ – задание №10, так называемая текстовая задача.
В некоторых сборниках можно встретить упражнения на прогрессии, но реально они очень давно не входили в официальный экзамен. Куда чаще там попадаются задачи на движение или на работу.
В некоторых сборниках можно встретить упражнения на прогрессии, но реально они очень давно не входили в официальный экзамен. Куда чаще там попадаются задачи на движение или на работу.
