Гармонические колебания: что такое свободные и вынужденные колебания, уравнение, период, амплитуда, частота, примеры, задачи с ответами по физике для 9, 10, 11 классов

Многое в нашей повседневной жизни зависит от гармонических колебаний. Видео в нашем смартфоне транслируется благодаря электромагнитным волнам, двигающимся по законам гармонических колебаний. Согласно этим же законам распространяются звуковые волны, передающие музыку. Выясним, что такое гармонические колебания и какими характеристиками они обладают.

Что такое гармонические колебания в физике

Гармонические колебания – это колебания, чья физическая величина с течением времени меняется по гармоническому закону. Этот закон еще называют синусоидальным или косинусоидальным. Пусть название вас не пугает: на самом деле, оно значит лишь то, что изменение характеристик гармонических колебаний можно описать и просчитать с помощью знакомых школьникам синусов и косинусов.

Полезная информация о гармонических колебаниях

Собрали для вас в одну таблицу полезную информацию о гармонических колебаниях.

Параметр	Информация о гармонических колебаниях
Когда началось изучение гармонических колебаний	В XVII веке
Кто первым изучал гармонические колебания	Галилео Галилей
Сколько основных видов гармонических колебаний выделяют	2

Свободные колебания

Свободные колебания совершаются системой, выведенной из равновесия, за счет внутренних сил. К примеру, если боксер ударит грушу, она начнет раскачиваться, то есть колебаться. Не важно, что будет делать боксер дальше, система будет колебаться и без его участия. Если бы в мире не было трения и других сил сопротивления, то груша раскачивалась бы вечно, однако на практике колебания груши будут затухающими. Как бы сильно боксер ни ударил грушу, после его ухода домой груша будет висеть неподвижно.

Теперь мы знаем, что:

свободные колебания происходят после того, как объект был выведен из положения равновесия неким воздействием;
свободные колебания со временем затухают, так как их энергия тратится на преодоление сил сопротивления.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания совершаются системой при периодическом воздействии внешней силы.

Боксера не устраивает, что груша перестает раскачиваться. Теперь он бьет ее постоянно, сообщая ей свою энергию. В таком случае мы рассматриваем уже не свободные, а вынужденные колебания. Их основной признак – периодическое воздействие на систему некой внешней силы. Благодаря этому колебания не остановятся. Если боксер будет бить точно в каждый период, то мы не сможем даже обнаружить какое-либо затухание.

Уравнение гармонических колебаний

В общем виде уравнение гармонических колебаний выглядит так:

\(х(t)=A\times\sin\;(\omega\times t+\varphi_{0\;})\\\)

либо

\(x(t)=A\times cos(\omega\times t+\varphi_0)\\где\;x(t)-отклонение\;характеристики\;от\;точки\;равновесия\\A-амплитуда\;колебания\\(\omega\times t+\varphi_0)-полная\;фаза\;колебания.\\\)

Фаза гармонических колебаний

Фаза гармонических колебаний – это величина, отражающая положение системы в определенный момент времени.

Представим, что перед вами стоит фокусник. В руке его качается маятник, и он просит вас сделать фотографию. Вы берете телефон и, чтобы найти лучший снимок, щелкаете десяток раз. На каждой из фотографий будет запечатлен не только фокусник, но и маятник в разных положениях. Эти положения обусловлены фазой гармонических колебаний. Ее формула:

\(\varphi=\omega\times t+\varphi_0\)

где

\(\omega-угловая\;скорость\;(величина,\;отражающая\;быстроту\;изменения\;фазы\\\;гармонического\;колебания;\;\\измеряется\;в\;радианах\;в\;секунду-\left(\frac{рад}с\right))\\t-момент\;времени,\;\lbrack с\rbrack\\\varphi_{0\;}-начальная\;фаза\left[0\right]\\\\\)

Делая фотографию, вы каждый раз фиксировали определенный момент времени, и для каждого из него была своя фаза гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний

Период гармонических колебаний – величина, показывающая, сколько времени системе нужно для полного колебания.

Фокусник оказался очень придирчивым. Ему нравится положение маятника на одном из фото, однако в этом кадре фокусник неудачно закрыл глаза. Он просит вас вновь помочь ему. Но как нам сделать много фотографий так, чтобы маятник на них был в одном положении? В этом нам поможет период колебаний. Его формула выглядит так:

\(T=\frac tN,\;где\\T-период\;\lbrack с\rbrack,\\t-время\;\lbrack с\rbrack,\\N-количество\;колебаний\left(-\right)\\\\\;\\\)

Используя формулу, вы можете узнать точный промежуток времени, через который вам необходимо делать фотографии. В результате у вас получится много снимков с одним и тем же положением маятника.

это интересно

Закон сохранения импульса

Что определяет и как действует закон сохранения импульса

Подробнее

Частота гармонических колебаний

Частота гармонических колебаний – это величина, показывающая, сколько колебаний произойдет в единичный промежуток времени. Формула частоты гармонических колебаний выглядит так:

\(\upsilon=\frac Nt=\frac1T,где\\\upsilon-частота\;\lbrack Гц\rbrack,\\t-время\;\lbrack с\rbrack,\\T-период\;\lbrack с\rbrack,\\N-количество\;колебаний\;\lbrack-\rbrack\;\\\)

Как вы можете заметить, эта величина является обратной к периоду. Чем больше период, тем ниже будет частота, и наоборот. Частота связана с ранее упомянутой угловой скоростью по следующей формуле:

\(\omega=2\times\pi\times\upsilon\\\)

Таким образом, угловая скорость позволяет узнать, на сколько радиан меняется фаза колебания за единицу времени.

Амплитуда гармонических колебаний

Амплитуда гармонических колебаний – это точка, являющаяся предельным отклонением от точки равновесия.

Когда вы делали фотографии, маятник принимал совершенно разные положения в каждый момент времени. Но просматривая все фотографии, вы заметите, что ни на одной из них маятник фокусника не поднялся выше определенной точки. Именно она является амплитудой гармонических колебаний.

Примеры гармонических колебаний

Теперь рассмотрим некоторые частные примеры гармонических колебаний.

Математический маятник

Математический маятник – это груз, подвешенный на нитке, при соблюдении трех условий:

Размер груза ничтожно мал по сравнению с длиной самой нити.
Нить не растягивается.
Масса нити ничтожно мала по сравнению с массой груза.

Таким образом, не каждый маятник может быть отнесен к математическим. Например, маятник фокусника таковым не являлся, хотя был близок.

Математический маятник. Фото: Игорь Соловьев

Формула периода колебания математического маятника

Если все три условия математического маятника выполняются, для подобной системы, находящейся в гравитационном поле Земли, будет справедлива следующая формула периода колебаний:

\(T=2\times\pi\times\sqrt{\frac lg},\;где\\T-период\;\lbrack с\rbrack\\I-длина\;нити\;\lbrack м\rbrack\;\\g-ускорение\;свободного\;падения\;\left(\frac M{c^2}\right)\\\\\;\\\)

Как вы можете видеть из формулы, период колебания не зависит от того, насколько массивный предмет находится на конце нити. До тех пор пока выполняются три условия, период колебаний будет одинаковым.

Пружинный маятник

Пружинный маятник – это груз, соединенный пружиной с недвижимым объектом.

Колебания пружинного маятника обусловлены силой упругости. Важным условием является то, что масса пружины должна быть ничтожно мала относительно массы груза.

Формула периода колебания пружинного маятника

Период колебания пружинного маятника можно найти по следующей формуле:

\(\mathrm T=2\times\mathrm\pi\times\sqrt{\frac{\mathrm m}{\mathrm k}},\;\mathrm{где}\\\mathrm T-\mathrm{период},\;\lbrack\mathrm с\rbrack\\\mathrm m-\mathrm{масса}\;\mathrm{маятника},\;\lbrack\mathrm{кг}\rbrack\\\mathrm k-\mathrm{жесткость}\;\mathrm{пружины},\left(\frac{\mathrm H}{\mathrm M}\right)\\\)

В данном случае масса груза играет важную роль, так как именно под ее воздействием деформируется пружина, создавая силовое воздействие на систему.

Задачи по теме «Гармонические колебания»

Для закрепления темы «Гармонические колебания» решим несколько задач.

Задача 1

Фокусник пытается подобрать маятник для гипноза зрителя. Для этого требуется, чтобы период колебаний T = 2 с. Какой длины нить необходимо использовать фокуснику? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,81, а константу π = 3,1416. Маятник считать математическим. Ответ округлить до сотых.

Задача 2

Фокусник установил, что его маятник совершает гармонические колебания по следующему закону: xt=0,2∙sin 10∙π∙t+π. Определите амплитуду A, частоту, период T колебаний, отклонение маятника в момент времени t₁ = 4,0 c.

Ответы к задачам

А теперь давайте рассмотрим ответы к задачам.

Задача 1

В условиях задачи сказано, что маятник является математическим. Значит, мы можем использовать формулу:

\(T=2\times\mathrm\pi\times\sqrt{\frac{\mathrm l}{\mathrm g\;}}\\\mathrm{Тогда}\;\mathrm{длину}\;\mathrm{нити}\;\mathrm{можем}\;\mathrm{получить}\;\mathrm{как}:\\\mathrm l=\left(\frac{\mathrm T}{2\times\mathrm\pi}\right)^2\times\mathrm g=\left(\frac2{2\times3,1416}\right)^2\times9,81=0,99\mathrm м\)

Ответ: Фокуснику нужно взять нить длиной 0,99 м.

Задача 2

Амплитуда колебаний определяется из условия задачи А = 0,2 м

Частоту колебаний найдем через связь с угловой скоростью:

\(\upsilon=\frac\omega{2\times\mathrm\pi}=\frac{10\times\mathrm\pi}{2\times\mathrm\pi}=5Гц\\Тогда\;период\;колебаний:\\Т=\frac1\upsilon=\frac15=0,2с.\\Отклонение\;маятника\;в\;момент\;времени\;t_1:\\\\\\х\left(t\right)=0,2\times\sin\left(10\times\mathrm\pi\times4+\mathrm\pi\right)=0,2\times0=0м\\\\\\Ответ:\;А\;=\;0,2\;м,\;u=\;5\;Гц,\;Т=\;0,2\;с,\;x(t_1)\;=\;0\;м\\\)

Гармонические колебания