Формулы сокращенного умножения
Рассмотрим формулы сокращенного умножения, вспомним основные правила и решим несколько примеров
В математике есть формулы, которые просто необходимо держать всегда в памяти, так как большинство заданий ЕГЭ не могут обойтись без их применения. Это формулы сокращенного умножения. Изучать ФСУ начинают в 7-м классе. Тема считается непростой, но знание их поможет избежать утомительных вычислений и снизить вероятность ошибки.
Что такое формула сокращенного умножения
Из названия следует, что эти формулы позволяют проводить умножение, возведение в степень чисел и многочленов сокращенно, то есть быстрее при более компактной записи решения. Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.
Таблица формул сокращенного умножения
Для удобства мы собрали все формулы сокращенного умножения в одну таблицу. Ее можно использовать при выполнении домашних заданий по алгебре. При решении задач вы можете заменить буквы a и b числами, переменными или даже целыми выражениями.
| Квадрат суммы | (a + b)²= a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a – b)²= a² – 2ab + b² |
| Разность квадратов | a² – b²=(a – b)·(a + b) |
| Сумма кубов | a³ + b³=(a + b)·(a² – ab + b²) |
| Разность кубов | a³ – b³=(a – b)·(a² + ab + b²) |
| Куб суммы | (a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ |
Формулы сокращенного умножения следует выучить. Без первой тройки формул о «тройке» и мечтать нельзя, без остальных — о «четверке» и «пятерке».
Как запомнить все эти, на первый взгляд, сложные формулы? Можно использовать метод аналогии. Присмотритесь к ФСУ внимательнее и вы увидите, что формула квадрата суммы очень похожа на формулу квадрата разности: здесь нужно запомнить только одно отличие — «плюс» меняется на «минус».
Также легко запомнить куб суммы и куб разности: их формулы практически одинаковы, снова поменялись только знаки. Сумма кубов и разность кубов тоже похожи, к тому же они напоминают первые две формулы.
И еще: научитесь правильно проговаривать формулы сокращенного умножения. Очень частая ошибка учеников — говорить «формула суммы квадратов». Такой формулы не существует!
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7-го класса по алгебре и добавим еще несколько формул.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:
(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an−12+an2+2·a1·a2+2·a1·a3+2·a1·a4+…+2·a1·an−1+2·a1·an+ +2·a2·a3+2·a2·a4+…+2·a2·an−1+2·a2·an+…+2·an−1·an.
Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых x, y и z. Имеем: (x+y+z)2=x2+y2+z2+2·x·y+2·x·z+2·y·z. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:
an−bn=(a−b)·(an−1+an−2·b+an−3·b2+…+a2·bn−3+a·bn−2+bn−1)
Частными случаями этой формулы являются: разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).
Важно!
При выполнении заданий необходимо знать некоторые свойства формул:
(a – b)2n = (b – a)2n, где n ∈ N
(a – b)2n+1 = –(b – a)2n+1, где n ∈ N
N – множество натуральных чисел
Примеры использования формул сокращенного умножения
Лучше всего формулы запоминаются на практике. Решайте как можно больше примеров, и все формулы запомнятся сами собой, а вы избавитесь от скучной и малоэффективной зубрежки. Итак, рассмотрим примеры и их решения с помощью формул сокращенного умножения.
Пример №1
Упростим выражение:
Применим формулу разности квадратов и получим:
Пример №2
Найдем значение выражения:
Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, сократим дробь и получим:
Популярные вопросы и ответы
Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?
Формулы сокращенного умножения изучаются в 7 классе, так как именно на этом этапе ребята знакомятся с понятием многочлена и действиям с ними.
Как появились формулы сокращенного умножения?
О существовании этих формул люди узнали около 4-х тысяч лет назад. Еще жители древнего Вавилона и Египта пользовались ими. Впервые математическую закономерность квадрата суммы доказал древнегреческий ученый Евклид, живший в в III веке до н.э.
Он использовал геометрический способ вывода формулы, так как ученые древней Эллады не использовали буквы для обозначения чисел: не «a2», а «квадрат на отрезке a», не «ab», а «прямоугольник, заключенный между отрезками a и b». На общепринятом языке математические формулы обосновал Исаак Ньютон.
Он использовал геометрический способ вывода формулы, так как ученые древней Эллады не использовали буквы для обозначения чисел: не «a2», а «квадрат на отрезке a», не «ab», а «прямоугольник, заключенный между отрезками a и b». На общепринятом языке математические формулы обосновал Исаак Ньютон.
Сколько всего формул сокращенного умножения?
В школьной практике используются 7 формул сокращенного умножения.
Где используются формулы сокращенного умножения?
Центральное применение формул сокращенного умножения было найдено в выполнении тождественных преобразований:
• упрощении выражений;
• решении уравнений;
• умножении многочленов;
• сокращении дробей;
• выделении квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения — квадрат суммы.
В 10-м и 11-м классах можно применять ФСУ для преобразования выражений всех других видов (например, дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических), а также при решении интегралов.
• упрощении выражений;
• решении уравнений;
• умножении многочленов;
• сокращении дробей;
• выделении квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения — квадрат суммы.
В 10-м и 11-м классах можно применять ФСУ для преобразования выражений всех других видов (например, дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических), а также при решении интегралов.
