Формулы приведения

Запомнив значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для основных углов из диапазона [0;π/2], ученики старшей школы часто надеются, что эти знания помогут им легко решать все тригонометрические задачи. К сожалению, далеко не всегда в задании даны углы, удобные для вычисления: может быть, например, 33π/2 или 172π/3. В таких случаях необходимо на первом этапе решения воспользоваться формулами приведения.

Что такое формулы приведения в алгебре

Формулы приведения в алгебре – это выражения, связывающие между собой тригонометрические функции углов вида πn/2 + 𝛼 (где n – целое число от 1 до 4) и угла 𝛼, входящего в диапазон [0;π/2]. Такие формулы помогают привести аргумент функции к значению, удобному для вычисления.

Полезная информация о формулах приведения

Список формул приведения

Все формулы приведения можно разделить по значению аргумента на четыре группы:

• π/2 ± 𝛼 
• π ± 𝛼 
• 3π/2 ± 𝛼 
• 2π ± 𝛼 

это интересно

Теория вероятностей

Как принимать обоснованные решения на основе вероятностных оценок

Подробнее

Доказательство формул приведения

Чтобы доказать любую из формул приведения, нам необходимо вспомнить значения синуса и косинуса для суммы и разности углов: 

• sin (𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 × cos 𝛽 + cos 𝛼 × sin 𝛽
• sin (𝛼 — 𝛽) = sin 𝛼 × cos 𝛽 — cos 𝛼 × sin 𝛽
• cos (𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 × cos 𝛽 — sin 𝛼 × sin 𝛽
• cos (𝛼 — 𝛽) = cos 𝛼 × cos 𝛽 + sin 𝛼 × sin 𝛽

Не будем приводить доказательство всех 32 формул, возьмем по одной из каждого вида аргументов, указанных в предыдущем разделе.

sin(π/2−𝛼) = cos 𝛼

sin(π/2−𝛼) = sin π/2 × cos 𝛼 — cos π/2 × sin 𝛼 = 1 × cos 𝛼 — 0 × sin 𝛼 = cos 𝛼

cos⁡(π+𝛼) = — cos 𝛼

cos⁡(π+𝛼) = cos π × cos 𝛼 + sin π × sin 𝛼 = -1 × cos 𝛼 + 0 × sin 𝛼 = — cos 𝛼

tg⁡(3π/2−𝛼) = ctg⁡ 𝛼

ctg⁡(2π−𝛼) = — ctg⁡ 𝛼

Формулы приведения с синусом

При решении некоторых тригонометрических задач удобнее группировать формулы приведения по типу функции, которая в них используется. Первыми перечислим формулы с синусом.

Формулы приведения с косинусом

Список формул с косинусом выглядит так:

Формулы приведения с тангенсом

Приведем выражения с тангенсом.

Формулы приведения с котангенсом

Завершим перечисление формулами для котангенса.

Таблица формул приведения

Для удобства соберем все приведенные выше формулы в единую таблицу.

Примеры и задачи по теме «Формулы приведения»

Выполним несколько упражнений, посвященных формулам приведения.

Задача 1

Вычислите значения следующих выражений:

1. sin (17π/3)
2. cos (181π/8)
3. tg (13π/6)
4. ctg (7π/4)

Задача 2

Вычислите синус и косинус для углов, значения которых выражены в градусах:

1. 𝛽 = 135°
2. 𝛽 = 390°
3. 𝛽 = 150°
4. 𝛽 = 225°

Ответы к задачам

Проверьте себя.

Задача 1

Во всех случаях будем помнить, что 2π и кратные ему (4π, 6π и так далее) можно отбрасывать при необходимости при вычислении любой функции.

1. sin (17π/3) = sin (6π — π/3) = sin (2π — π/3) = — sin π/3 = -3/2
2. cos (181π/4) = cos (45π + π/4) = cos (π + π/4) = — cos π/4 = -2/2
3. tg (13π/6) = tg(2π + π/6) = tg π/6 = -3/3
4. ctg (7π/4) = ctg (2π — π/4) = — ctg π/4 = -1

Задача 2

Переведем градусы в радианы и воспользуемся формулами приведения. 

1. 𝛽 = 135° = 90° + 45 ° = π/2 + π/4

sin(π/2 + π/4) = cos π/4 = 2/2

cos(π/2 + π/4) = — sin π/4 = -2/2

2. 𝛽 = 390° = 360° + 30 ° = 2π + π/6

sin(2π + π/6) = sin π/6 = 1/2

cos(2π + π/6) = cos π/6 = 3/2

3. 𝛽 = 150° = 180° — 30 ° = π — π/6

sin(π — π/6) = sin π/6 = 1/2

cos(π — π/6) = — cos π/6 = -3/2

4. 𝛽 = 225° = 180° + 45 ° = π + π/4

sin(π + π/4) = — sin π/4 = -2/2

cos(π + π/4) = — cos π/4 = -2/2

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Юлия Крутова, учитель математики и физики МОУ СОШ №16, Орехово-Зуевский городской округ: