Десятичные дроби

История открытия десятичных дробей полна неожиданностей. Ученые разных стран приходили к сходных выводам и расчетам независимо друг от друга, что свидетельствует о важности дробей не только для математического познания, но и для практических нужд людей.

Немного истории

Впервые десятичные дроби появились в Древнем Китае в III веке до нашей эры. Эти знания были неизвестны в арабском и европейском мире. Только в ХV веке самаркандский астроном Джемшид аль-Каши изложил правила действия с десятичными дробями в сочинении «Ключ к арифметике». В Европе сведения о дробях появились еще позже, в ХVI веке, благодаря труду голландского ученого С. Стевина «Десятая». В то время десятичные дроби записывались не так, как сейчас. Для указания дробной части использовалось число 0, обведенное кружком. В Англии и США вместо запятой использовалась точка, запятая стала применяться только в начале ХVII века. В России впервые учение о десятичных дробях изложил Л. Ф. Магницкий в книге «Арифметика» в 1703 года.

Что такое десятичная дробь

Десятичные дроби – это результат преобразования обыкновенной дроби: деления числителя на знаменатель. Например: 1 : 2 = 1/2 = 0,5.

Десятичные дроби – такие дроби, которые записываются в строчку через запятую. Они бывают конечные и бесконечные. В конечной десятичной дроби количество цифр после запятой точно определено. В бесконечной десятичной дроби число цифр после запятой бесконечно. Для удобства эти цифры обычно округляют до 1, 2, 3 после запятой. 

Полезная информация о десятичных дробях

Свойства десятичной дроби

Главным свойством десятичной дроби является следующее: величина десятичной дроби не изменится, если слева или справа добавить или удалить любое количество нулей.

6,15 = 6,1500 = 006,15

Поскольку десятичные дроби тесно связаны с обыкновенными дробями, существуют свойства, их объединяющие.

1. Если числитель обыкновенной дроби меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби меньше нуля.
   2/3 = 0,67
2. Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби.
   3 ²/₅ = 3,4
3. Количество цифр после запятой в десятичной дроби зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби: если одна цифра, то делитель – 10, если две цифры, то делитель – 100.
   4/5 = 0,8 и 4/55 = 0,07

это интересно

Простые числа

Что важно знать о простых числах и их особенностях

подробнее

Разряды десятичной дроби

В десятичной дроби значение каждой цифры зависит от ее позиции Названия разрядов в десятичной дроби до запятой совпадают с названиями разрядов в натуральных числах (единицы, десятки, сотни и так далее). Первая цифра после запятой означает количество десятых долей. Вторая цифра после запятой – число сотых долей. Третья цифра – число тысячных долей.

Десятичные дроби можно также раскладывать по разрядам натуральных чисел.

36,85 = 30 + 6 + 0,8 + 0,05
или
36,85 = 36 + 0,85 

Умножение десятичных дробей

Умножать десятичные дроби следует так же, как и другие числа, главное – правильно поставить запятую в ответе.

Если нужно перемножить дроби с разными знаками, действует общее правило: плюс на плюс дает плюс, минус на плюс дает минус, минус на минус дает плюс.

Чтобы умножить десятичные дроби в столбик, следует умножить их друг на друга как целые числа, сложить количество знаков после запятой у каждой дроби, отсчитать полученное количество знаков справа налево и поставить запятую.

Умножение десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и умножение между десятичными дробями. Если нужно умножить на 10 или 100, переносим запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится во втором множителе. При умножении на 0,1 или 0,01 переносим запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей во втором множителе.

Если нужно умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, можно действовать двумя способами: перевести десятичную дробь в обыкновенную и затем перемножить или перевести обыкновенную дробь в десятичную и выполнить действие. 

Примеры

Умножение десятичной дроби в столбик

Умножение десятичной дроби на натуральное число

3,21
х
16
₊1926
321
51,36

Умножение десятичной дроби на 10 и 100

1,26 х 10 = 12,6
5,8 х 100 = 580

Умножение десятичной дроби на 0,1 и 0,01

28,56 х 0,1 = 2,856
159,1 х 0,01 = 1,591

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь   

1. 2/7 х 0,5 = 2/7 х 1/2 = 2/14 = 0,14
2. 2/7 х 0,5 = 0,28 х 0,5 = 0,14

это интересно

Умножение дробей

Советы эксперта, как научиться быстро умножать дроби

подробнее

Деление десятичных дробей

Десятичные дроби, как и натуральные числа, можно делить столбиком. Для того чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, необходимо сначала разделить целую часть, а затем дробную. Запятая в ответе ставится после деления целой части. Результатом деления может быть либо конечная, либо бесконечная десятичная дробь.

Также столбиком можно делить одну десятичную дробь на другую. Предварительно делитель следует превратить в натуральное число. Для этого переносим запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков. Если в делимом не хватает знаков, добавляем в него нули с правой стороны.

При делении десятичной дроби на 10 или 100 просто переносим запятую влево на одну или две цифры. Соответственно, деление на 0,1 или 0,01 сопровождается переносом запятой вправо на одну или две цифры.

Если нужно разделить смешанную либо обыкновенную дробь на десятичную или наоборот, превращаем обе дроби в десятичные либо обыкновенные, и совершаем деление по рассмотренным выше правилам.  

Примеры

Деление десятичной дроби на натуральное число

Деление одной десятичной дроби на другую

Разделить 36,24 на 1,2:

Деление десятичной дроби на 10 и 100

526,8 : 10 = 52,68
42,76 : 100 = 0,4276

Деление десятичной дроби на 0,1 и 0,01

3,28 : 0,1 = 32,8
9,34 : 0,01 = 934

Деление смешанной или обыкновенной дроби на десятичную дробь

3¹/₅  :  0,8 = 3,2 : 0,8 = 4

Популярные вопросы и ответы

Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике