Биссектриса треугольника

Рассматривая такую геометрическую фигуру, как треугольник, нам потребуется изучить не только его вершины, углы и стороны. Одно из понятий, которое обязательно встретится и в ОГЭ по математике, и в ЕГЭ любого уровня сложности – биссектриса треугольника. Знать, какие свойства она имеет и какие формулы к ней относятся, нужно всем выпускникам школы без исключения.

На практике вычисления, основанные на свойствах треугольников, применяются не только в инженерии, но и во многих других сферах жизни. Например, методом триангуляции геодезисты могут определить расстояние до отдаленных объектов, астрономы – до космических тел. А впервые такой метод применил нидерландский математик, физик и астроном Снеллиус в 1615 году нашей эры.

Что такое биссектриса треугольника в геометрии

В геометрии термином «биссектриса» обозначаются сразу два понятия, отличаются они дополнительным словом. Первое, биссектриса угла – луч, разделяющий любой угол на два равных по величине. Второе понятие чаще используется в школьных задачах, и это «биссектриса треугольника». Им обозначается отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с противоположной стороной и также разделяющий угол при вершине на два равных.

Полезная информация о биссектрисе треугольника

Свойства биссектрисы треугольника

Перечислим основные свойства биссектрис треугольника.

1. Все они пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.
2. Этой точкой они делятся в отношении, равном отношению суммы длин прилежащих к вершине сторон к длине противолежащей.
3. Каждая из точек биссектрисы равноудалена от сторон, прилежащих к вершине, из которой она опущена. Не будем забывать, что кратчайшее расстояние между точками – прямая, а между точкой и прямой – перпендикуляр.

Еще одно свойство является утверждением теоремы, доказательство которой мы приведем ниже.

Теорема биссектрисы треугольника

Теорема о биссектрисе часто применяется для решения задач, связанных с треугольниками. Звучит она следующим образом:

Биссектриса, опущенная из вершины треугольника на противолежащую сторону, делит эту сторону на две части в соотношении, равном соотношению прилежащих сторон.

То есть больший получившийся отрезок во столько же раз длиннее меньшего, во сколько раз большая из сторон при вершине длиннее меньшей.

Биссектриса AM треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC, делит ее на отрезки BM и MC. При этом отношение длины MC к длине MB равно отношению длины стороны AC к длине стороны AB: MC/MB = AC/AB

Например, если биссектриса опущена из вершины между стороной длиной a и стороной длиной 2a, она разделит третью сторону на два отрезка. И больший из них будет в два раза длиннее меньшего.

Доказательство теоремы о биссектрисе

Для доказательства воспользуемся формулой нахождения площади треугольника через длину его основания и высоту.

Проведем из вершины A ⊿BAC биссектрису AM и высоту AH. 

Рассмотрим два треугольника: ⊿BAM (обозначен зеленым на рисунке) и ⊿MAC (обозначен голубым). Если принять за их основания стороны MB и MC соответственно, то площади можно выразить следующими формулами:

S_BAM = ½ • MB • AH

S_MAC = ½ • MC • AH

Если же за основания взять стороны AB и AC и провести высоты MK и MV из точки M, формулы площади преобразуются так:

S_BAM = ½ • AB • MK

S_MAC = ½ • AC • MV

Из свойства о равноудаленности точек биссектрисы от сторон, прилежащих к вершине, из которой она опущена, получаем утверждение: MK = MV.

Проведем преобразования:

S_BAM = ½ • AB • MK

S_MAC = ½ • AC • MK

MK = 2 •S_BAM / AB

MK = 2 •S_MAC / AC

2 • S_BAM / AB = 2 • S_MAC / AC

S_BAM / AB = S_MAC / AC

Подставим значения площадей, взятые с высотой AH, и сократим выражения.

Полученное равенство легко преобразуется:

Что и требовалось доказать.

это интересно

Периметр треугольника

Все формулы нахождения периметра треугольника

Подробнее

Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Из доказанной нами теоремы следует утверждение о том, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, совпадает с медианой и высотой.

Так как мы рассматриваем биссектрису, опущенную из вершины между равными сторонами, она будет делить основание на равные части. Такой отрезок есть ни что иное, как медиана.

Докажем вторую часть утверждения.

Углы при основании равны, согласно свойству равнобедренного треугольника. Углы, разделенные биссектрисой, также равны по определению. Сумма углов любого треугольника, как мы помним, равна 180°. Рассмотрим изображенные на рисунке треугольники BAM и MAC и составим равенства:

∠BAM + ∠AMB + ∠B = 180°

∠MAC + ∠AMC + ∠C = 180°

∠BAM + ∠AMB + ∠B = ∠MAC + ∠AMC + ∠C

Сократим и получим:

∠AMB = ∠AMC

Так как эти углы – смежные, в сумме они составляют все те же 180°. А каждый из них, соответственно, равен 90°, что и требовалось доказать.

Запомните!
Равносторонний (или правильный, или равноугольный) треугольник — частный случай равнобедренного. Все три его биссектрисы совпадают с соответствующими медианами и высотами, так как за основание в нем можно принять любую из трех сторон.

Задачи на тему «Биссектриса треугольника»

Решим несколько задач по теме для закрепления знаний.

Задача 1

Ученик 9 класса Вася Мишечкин поспорил со своим другом Петей Семенкиным, что сможет точно провести биссектрису в любом треугольнике, пользуясь только карандашом и листом бумаги из своей тетради. Сможет ли Вася победить в споре, и если да, то как?

Задача 2

Под вишнями в саду у дяди Вани выкопан треугольный пруд. Через него перекинут декоративный мостик, соединяющий один из углов с противоположным берегом. Мостик делит этот берег на части длиной 2 и 4 метра. Какими должны быть длины других берегов пруда, чтобы мостик шел по биссектрисе треугольника? При решение постарайтесь соблюсти два условия: длины сторон должны быть целыми числами. Периметр пруда не должен превышать 30 метров.

Ответы к задачам

Задача 1

Конечно, Вася не стал бы предлагать другу спор, если бы не был уверен в своей победе. Он заранее продумал алгоритм действий и использовал такие факты:

1. Листы в тетрадях прямоугольные, а значит, их стороны попарно параллельны. 
2. Каждая точка биссектрисы равноудалена от двух боковых сторон.
3. Две непараллельные прямые пересекаются строго в одной точке.
4. Через две любые точки на плоскости можно провести прямую, причем только одну.

Вася сложил лист из альбома вдоль пополам, получив прямоугольную полосу бумаги. С ее помощью он провел две прямые, параллельные сторонам, двигаясь от них «внутрь» треугольника. На рисунке это зеленая и голубая линии.

На их пересечении он получил точку, которая точно равноудалена от обеих боковых сторон. Это следует из того, что параллельные прямые в классической геометрии находятся всегда на одинаковом расстоянии друг от друга.

Теперь Васе не составило труда провести луч из вершины треугольника через найденную точку, получив биссектрису.

Задача 2

Решение задачи оказывается достаточно простым, если помнить теорему о биссектрисе. Зная длины отрезков основания, мы легко вычислим их соотношение: один длиннее другого ровно в два раза. А значит, и длины искомых сторон должны выражаться двумя числами, отношение которых – 2 к 1.

Учитывая условие о целых числах и периметре, можно подобрать несколько подходящих ответов, внесем их в таблицу.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике.