Арифметический квадратный корень: свойства, извлечение и преобразования корней для 8 класса, примеры, решение задач с ответами по алгебре

Изучив умножение и деление, школьники переходят к операции возведения в степень. А за ней логично следует обратный процесс – извлечение корня. Разберемся, что такое арифметический квадратный корень и какие действия можно с ним производить.

Что такое арифметический квадратный корень в алгебре

Арифметическим квадратным корнем неотрицательного числа X в алгебре называют такое неотрицательное число Y, которое при возведении во вторую степень дает X. То есть если под знаком корня, например, стоит 16, в результате мы получим 4, так как 4² = 16. Обозначается это так:

\(y=\sqrt x\;\\или\;\\y=\sqrt[2]x\)

Цифру 2, обозначающую степень, над знаком квадратного корня писать не принято, поэтому первый вариант записи предпочтительнее.

Если перейти на язык геометрии, квадратный корень числа – это длина стороны квадрата, площадь которого равна этому числу. Задачи, связанные с такими вычислениями, производили жители Древнего Вавилона и Древнего Египта еще около 4000 лет назад.

Полезная информация об арифметическом квадратном корне

Операцию извлечения корня обозначают специальным знаком, похожим на букву V	Его называют радикалом
Квадратным называют корень второй степени	Им может быть только неотрицательное число
Под знаком корня может стоять не только число, но и выражение	Такое выражение называется подкоренным
Для квадратного корня над радикалом не ставится никаких цифр	Для всех остальных случаев степень обозначается слева над знаком

Извлечение корней

Операцию вычисления значения корня из числа x иначе называют извлечением корня. Чтобы извлечь квадратный корень из x, необходимо решить уравнение вида:

y² = X

Так как при возведении в квадрат и отрицательные, и положительные числа дают результат больше нуля, решений у такого уравнения будет два.

Но арифметическим квадратным корнем называется только такой y, значение которого неотрицательно.

Можно добавить к указанному выше уравнению еще несколько формул, описывающих искомое число:

\(y=\sqrt x\;\\y^2=x\;\\x\;\geq\;0\;\\y\;\geq\;0\)

Свойства арифметического квадратного корня

В математике выделяют несколько свойств арифметического квадратного корня. Перечислим их, учитывая, что во всех формулах x и y – неотрицательные.

1. Корень из произведения двух и более чисел равен произведению корней этих чисел.

\(\sqrt{x\times y}\;\;\;=\;\sqrt x\;\times\;\sqrt y\;\\\sqrt{9\times16}\;\;=\;\sqrt9\;\times\;\sqrt{16}=3\times4=12\)

2. Корень из частного двух чисел равен частному их корней. Другими словами, корень из дроби равен отношению корня из числителя к корню из знаменателя. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

\(\sqrt{\frac xy}=\;\frac{\sqrt x}{\sqrt y},\;где\;y\;\neq\;0\;(не\;равен\;нулю)\;\\\sqrt{\frac{64}{16}}=\;\sqrt{\frac{64}{16}}=\;\frac84=\;2\)

3. Квадратный корень числа x, возведенный в степень z, равен квадратному корню из X^z.

\({(\sqrt x)}^z\;=\;\sqrt{x^z}\)

4. Корень из квадрата любого, в том числе отрицательного, числа равен модулю этого числа.

\(\sqrt{x^2}=\vert x\vert,\;где\;x\;–\;любое\)

5. Из предыдущих свойств можно получить еще одно: возведенный в квадрат корень равен подкоренному числу или выражению.

\({(\sqrt{xyz})}^2\;=\;xyz,\;где\;x\;\times\;y\;\times\;z\;\geq\;0\)

это интересно

Свойства степеней

Формулы, примеры с натуральным и рациональным показателем, доказательства

Подробнее

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Помня об указанных свойствах квадратных корней, уже можно переходить к решению задач и примеров, но для упрощения вычислений удобно пользоваться тождественными преобразованиями. Это такие действия, при которых получаемое в результате выражение равно исходному для любых значений переменных. Далее расскажем о некоторых тождественных преобразованиях выражений, содержащих корни.

Вынесение множителя из-под знака корня

Под знаком корня может стоять не только одно число, но и произведение нескольких. Согласно первому свойству арифметического квадратного корня, мы можем провести вычисления отдельно для каждого из них, а после перемножить результаты. Такая операция называется вынесением множителя из-под знака или за знак корня. Перед вычислением корня из достаточно большого числа x удобно разложить его на множители, а потом работать с произведением.

Приведем несколько примеров вынесения множителя из-под знака корня для числовых и буквенных выражений:

\(\sqrt{144\times256\times7}\;=\;\sqrt{144}\times\;\sqrt{256}\times\sqrt7=12\times16\times\sqrt7=\;192\sqrt7\\\sqrt{81796}\;=\;\sqrt{169\times484}\;=\;\sqrt{169}\times\sqrt{484}=13\times22=286\;\\\sqrt{A^4B^6C^2}\;=\;\sqrt{A^4}\times\sqrt{B^6}\times\sqrt{C^2}=\;A^2\;\times B^3\times\;C\)

Внесение множителя под знак корня

Вносить множитель под знак корня можно также без изменения значения выражения. Согласно все тому же первому свойству для этого нужно представить число в виде равного ему корня, а после «собрать» произведение корней в корень из произведения. Например, для числа x, умноженного на корень из y, нужно возвести x во вторую степень и перенести под знак корня. Формула выглядит так:

\(x\sqrt y=\;\sqrt{x^2}\times\sqrt y=\sqrt{x^2\times y}\)

Покажем это преобразование на примерах:

\(29\sqrt3=\;\sqrt{29}^2\;\times\;\sqrt3=\;\sqrt{29^2\times\;3}=\sqrt{841\times\;3}=\sqrt{2523}\\5\sqrt x=\;\sqrt{5^2}\times\;\sqrt x=\;\sqrt{5^2\times\;x}\;=\;\sqrt{25x}\)

Сокращение дробей, содержащих арифметические квадратные корни

Умение выносить множитель из-под знака корня и формулы сокращенного умножения помогут в случаях, когда необходимо сократить дробь, содержащую арифметический квадратный корень. Приведем несколько примеров.

\(\frac{X^2-5}{X+\sqrt5}=\frac{X^2-{(\sqrt5)}^2}{X\;+\;\sqrt5}=\frac{(X\;-\;\sqrt5)(X\;+\;\sqrt5)}{X\;+\sqrt5}=X\;-\sqrt5\\\;\\\frac{\sqrt{400}\;-\sqrt{175}}{4\;-\;\sqrt7\;}\;=\frac{\;\sqrt{25\times16}\;-\sqrt{\;25\times7}}{4-\sqrt7}=\frac{\;5\times4\;-\;5\times\sqrt7}{4-\sqrt7}=\frac{5(4\;-\sqrt7)}{4-\sqrt7}=5\;\\\\\frac{\sqrt Y-9}{81-Y}=\frac{\sqrt Y-9}{9^2-\sqrt{Y^2}}=\frac{\sqrt Y\;-\;9}{(9\;-\sqrt Y)(9+\sqrt Y)}=\frac{-1(9\;-\sqrt Y)}{(9\;-\sqrt Y)(9+\sqrt Y)}=-\frac1{9+\sqrt Y}\)

Задачи и примеры на тему «Арифметический квадратный корень»

Теперь потренируемся в решении задач.

Задача 1

Восьмиклассник Слава Пятачков задумал подарить своей учительнице по геометрии на 8 Марта торт, испеченный своими руками. Он хочет сделать коржи квадратными, а верх лакомства украсить сладкой мастикой. Вот беда: перед началом приготовления выяснилось, что младшая сестренка съела часть мастики, и ее осталось всего 800 грамм.

Слава помнит, что на каждый квадратный сантиметр необходимо 2 грамма мастики. Посчитайте, какой должна быть сторона квадратных коржей, чтобы Славе хватило массы для украшения торта.

Задача 2

Воспользуйтесь свойствами арифметического квадратного корня и вычислите:

\(1.\;\sqrt{25\times81\times256\;}\\2.\;\sqrt{1156\times17^2\times9}\;\\3.\;\frac{\sqrt5-\sqrt3}{3-5\;}\\4.\;\sqrt{\frac{81\;-\;X^2}{9\;+X}}\;\)

Задача 3

Проверьте, верно ли равенство:

\(\frac{3\sqrt7-5\sqrt2}{13}=\;\frac{3\sqrt7+\;5\sqrt2}{113\;+\;30\sqrt{14}}\)

Ответы к задачам

Для проверки ознакомьтесь с ответами к заданиям.

Задача 1

Начнем с вычисления площади торта, на который хватит мастики:

800 / 2 = 400 см²

Чтобы найти сторону торта, извлечем корень из его площади

\(\sqrt{400}\;=\;20\;см\)

Ответ: Слава должен испечь торт со стороной 20 сантиметров.

Задача 2

\(1.\;\sqrt{25\times81\times256}\;=\sqrt{25}\times\sqrt{81}\times\sqrt{256}\;=\;5\times9\times16=720\;\;\\\\2.\;1156\times17^2\times9\;=\sqrt{1156}\times\sqrt{17^2}\times\sqrt9=34\times17\times3=1734\;\;\\\\3.\frac{\;\sqrt5-\sqrt3}{3\;-5\;}=\;\frac{\sqrt5-\sqrt3}{(\sqrt3-\;\sqrt5)(\sqrt3+\sqrt5)}=-\frac1{\sqrt3+\sqrt5}\;\;\\\\4.\;\sqrt{\frac{81\;-\;X^2}{9\;+\;X}}=\sqrt{\frac{(9-X)(9+X)}{9+X}}=\sqrt{9-X}\)

Задача 3

\(\frac{3\sqrt7\;-\;5\sqrt2}{13}\;=\frac{\;3\sqrt{7\;}+\;5\sqrt2}{113\;+\;30\sqrt{14}}\)

Заметим, что второе слагаемое в знаменателе дроби справа – это удвоенное произведение слагаемых числителя этой дроби. Попробуем воспользоваться этим и применить формулу сокращенного умножения.

\(\frac{3\sqrt7\;+\;5\sqrt2}{113\;+\;3\times5\times2\sqrt{7\times2}}=\frac{3\sqrt7+\;5\sqrt2}{63+50+2\times3\times5\sqrt{7\times2}}=\\\\=\frac{37\;+\;52}{{(3\sqrt7)}^2+{(5\sqrt2)}^2+2\times3\times5\sqrt{7\times2}}=\frac{3\sqrt7\;+\;5\sqrt2}{{(3\sqrt7\;+\;5\sqrt2)}^2}=\frac1{3\sqrt7+\;5\sqrt2}\)

Перепишем равенство.

\(\frac{3\sqrt7\;-\;5\sqrt2}{13}=\;\frac1{3\sqrt7+\;5\sqrt2}\\\\(3\sqrt7-\;5\sqrt2)(3\sqrt7\;+\;5\sqrt2)\;=\;13\\\\\\{(3\sqrt7)}^2-{(5\sqrt2)}^2=13\;\\\\3\times3\times7-5\times5\times2=13\;\\\\\\63-50=13\;\\\\\\13=13\)

Что и требовалось доказать.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:

Как подготовиться к самостоятельной или контрольной работе на тему «Арифметический квадратный корень»?

В первую очередь, важно понять определение квадратного корня. Есть ребята, которые путаются. Например, могут принимать √3 = 9, а не наоборот, как должно быть: √9 = 3. Считаю, здесь хромает именно понимание сути, потому что ученики привыкают, что должно получаться «красиво», без знака корня, и поэтому бездумно подгоняют любой ответ к удобному.

Также хочется заметить, что очень важно знать и уметь применять свойства квадратного корня. Их совсем немного, как уточнялось выше в статье. Для ловкого «жонглирования» числами разного вида, в том числе выражениями с арифметическим квадратным корнем, необходимо много практики.

Почему арифметический квадратный корень изучают в 8 классе?

К восьмому классу по школьной математической программе предполагается, что учащиеся уже вдоль и поперек изучили натуральные, целые и рациональные числа. А также у ребят есть достаточно практики за плечами, чтобы успешно выполнять любые действия с ними. Кроме того, они весь седьмой класс работали с привычными числами в составе алгебраических дробей, успели приобрести навык применения формул сокращенного умножения и многое другое. В этот момент очень органично можно переходить от множества рациональных чисел ко множеству иррациональных (числа под знаком арифметического квадратного корня являются таковыми).

В каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике могут встретиться задачи на тему «Арифметический квадратный корень»?

Иногда составители экзаменов меняют местами номера заданий, но в 2023-2024 учебном году дела обстоят следующим образом:

• ОГЭ, 1 часть. Задания под номерами 7, 8, 9, 12, 17, 18. Чаще всего в этих заданиях достаточно базового навыка работы с корнями.

• ОГЭ, 2 часть. Здесь квадратный корень может встретиться почти в любом номере из шести. Пожалуй, не видела я его только в заданиях на построение графиков и в текстовых задачах (хотя и здесь нужно будет уметь извлечь корень из дискриминанта при решении уравнения).

• ЕГЭ база. Задания под номерами: 4, 11, 12, 16, 17, 18, 20.

• На ЕГЭ по профильной математике вообще не стоит идти без знаний о квадратном корне. Только в двух заданиях первой части из всех 19 точно не встретится квадратный корень: это задачи на вероятность. Во всех остальных арифметический квадратный корень – это уже совершенно обыкновенная история.

Главное, что хочется добавить, – это небольшой лайфхак. Если вы в первой части экзамена получили ответ с арифметическим квадратным корнем – это прямое указание на то, что в в вашем решении есть ошибка. Потому что в бланк ответов к заданиям первой части ОГЭ и ЕГЭ, если нет конкретных указаний для округления, можно записать только целое число или конечную десятичную дробь.