Заслуженный мастер спорта России, победитель Всемирной летней Универсиады.

Чемпионка летних Олимпийских игр в Рио-де-Жанейро 2016 года

Первые шаги в теннисе начала делать в семь лет в родном Сочи. В 16 лет выигрывает престижный Кубок Озерова, а несколько месяцев спустя, в составе национальной сборной, доходит до финала юниорского Кубка Федерации. Спустя год Веснина неплохо проводит чемпионат Европы, добравшись до полуфинала одиночного турнира и сыграв в финале в парах.

В 22 года получила свой первый шанс сыграть на Олимпиаде. Вместе с Верой Звонаревой они дошли до четвертьфинала парного турнира, обыграв испанок, но уступив будущим чемпионкам — сестрам Уильямс. На следующих играх в 2012 году результат был повторен, но уже в команде с Екатериной Макаровой.